Physik Forum

hallo zusammen,
ich habe ein mathematisches problem was mich verzweifeln lässt.
ich würde gerne die geschwindigkeit an einer seilrutsche ermitteln, einmal am tiefsten punkt und einmal am ziel.
leider fehlen mir die einige "mathekenntnisse" um auf eine lösung zu kommen.
hoffe, das ihr mir weiterhelfen könnt.
gegeben :
starthöhe=10m,zielhöhe=0m, länge (wagerecht)=120m, seillänge=121,02m
funktion der seilrutsche/ kettenlinie = f(x)=2,71828^((0,00284*(x-30,924))+2,71828^((0,00284*(30,924-x))/(2*0,00284)-352,37
masse= 100kg
cw( mensch stehend) = 0,78
A= 1,29 m²
somit Cwa= 1,01
luftdichte= 1,20 kg/m³ für den luftwiderstand
rollenwiderstand= 0,0005 ( geschätzt)

falls das zu aufwendig ist, würde mir auch eine berechnung auf grundlage einer schiefen ebene reichen:
z.Bspl.: man/frau rutscht unter einem winkel a ( 8,07 ° ) eine bestimmte strecke runter ( 89,68m) und am ende ein kurzes stück wieder hoch, winkel b( 2,8 °) , strecke 30,91m.

ich bedanke mich jetzt schon für eure unterstützung
gruß
dirk

Hallo

Der von dir erwähnte Thread ftopic6793.html ist schon mehr als 5 Jahre alt, daran kann ich mich kaum noch erinnern. Aber ich werde gerne versuchen dir zu helfen das Problem zu lösen.

Zunächst sei erwähnt, dass eine halbwegs brauchbare Lösung sich wohl nur mit einer Simulation finden lässt. Eine "symbolische" Lösung kann man hier vergessen, dazu gibt es zu vielfältge Einflüsse.

Dass du die Kettenlinie des durchhängenden Seils berechnet hast ist zwar lobenswerte Vorarbeit, aber leider nicht ganz richtig. Denn an dem Seil hängt ja auch noch eine Last, und da diese im Vergleich zur Masse des Seils nicht unerheblich ist kann man nicht einfach von einer Kettenlinie ausgehen. Es gibt hier IMHO 2 Grenzfälle: entweder die Masse des Seils ist sehr groß gegenüber der Last, dann kann man die Last vernachlässigen und es gilt die Kettenlinie. Oder (2.) die Masse des Seils ist sehr klein, dann folgt die Last einer Trajektorie die einem Ellipsen-Segment entspricht (Die beiden Aufhängepunkte des Seils sind die Brennpunkte).

Dazu kommt noch die Dehnung des Seils, d.h. in Wahrheit ist alles noch viel komplizierter...

Es kommt halt darauf an wie viel Aufwand man treiben möchte und wie genau das Ergebnis sein soll. Man muss halt ein mathematisches Modell finden und das ist immer eine Vereinfachung.

Um abschätzen zu können wie groß die Unterschiede wirklich sind wären ein paar Angaben über das Seil nicht schlecht. (Werkstoff, Steifigkeit, Massenbelag, Vorspannkraft, etc.)

Wenn das "Höhenprofil" der Seilrutsche erst mal bekannt ist sollte der Rest nicht mehr allzu schwierig sein. Man muss einfach die Bewegungsgleichung mit allen Einflüssen (Luftwiderstand etc.) aufstellen und numerisch lösen. Damals haben wir das ja mit Matlab/Simulink gemacht. (Damit habe ich auch schon lange nichts mehr gemacht.) Es gibt auch aber andere Möglichkeiten zb. Scilab/XCos: http://www.scilab.org/scilab/features/xcos Oder man schreibt sich selbst ein kleines Programm dafür.

mfg Fritz

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hallo fritz,
vielen dank für deine prompte antwort....ich wusste schon, warum ich mich an dich gewendet habe
zunächst einmal:
die funktion der kettenlinie die ich angegeben habe, entsteht aus einem unbelasteten seil unter eigengewicht.
stahldrahtseil d= 12mm, A= 85,49mm², Emodul= 116260 N/mm², m=0,7kg/m, vorspannung 4,20 Kn ( durch eigenlast)
natürlich hängt später an dem seil noch eine last, wie sich das seil dann verhält ( geometrie) wäre für mich auch noch sehr interessant.
klar ist, wenn eine einzelast an dem seil hängt, ändert sich die geometrie dahingehend, das rechts und links der last die beiden seilstücke, durch eigengewicht ebenfalls eine geometrie aus der kettenlinie entsteht. aber da wüsste ich jetzt absolut keinen ansatz um dies zu ermitteln. falls du eine idee hast, gerne willkommen.
zur geschwindigkeit:
wäre es einfacher und hinlänglich ausreichend wenn die geschwindigkeit über 2 schiefe ebenen ermittelt. bestehend aus dem startpunkt, tiefstpunkt und zielpunkt der seilgeometrie?

freue mich jetzt schon über antworten
grus dirk

Hallo

Das mit der schiefen Ebene ist so eine Sache. Klar wäre das auch eine mögliche Näherung, aber wie nahe man der exakten Lösung kommt ist fraglich. Gerade für ein geringes Gefälle wie hier kann man damit auch ganz schön daneben liegen, wie dieses Video zeigt:
https://www.youtube.com/watch?v=FAYWccuLVvY

Das Gewicht des Seils ist etwa 85kg, also durchaus in der gleichen Größenordnung wie der "Fahrgast".

Ich denke man sollte die Seilkurve mit einer "einfachen" 1D-FEM Analyse für alle Lastpositionen berechnen. Ich hab so was für ähnliche Probleme schon mal gemacht, ist allerdings auch schon eine Weile her. Ich kann dir gerne ein paar Unterlagen dazu schicken.

Von einem zu sehr vereinfachten Modell wie einer schiefen Ebene usw. rate ich ab. Die Unsicherheit ist sonst zu groß, da das Seil ja auch eine Dehnung hat usw.


Eine Alternative wäre es natürlich das Ding mal zu bauen und dann einfach eine "unbelebte Masse" hinunterfahren zu lassen. Wenn man dann die Fahrt noch genauer analysieren möchte kann man zb. GPS-Empfänger und Beschleunigungs-Sensoren mitfahren lassen und die Fahrt aufnehmen.

mfg Fritz

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danke.
was wäre wenn das gewicht des seil zb. 300 kg und mehr wiegen würde? das ist nähmlich für mich auch eine interessante frage, wie wohl dann die seilkurve unter last aussehen würde.
gerne nehme ich deine unterlagen an!
wäre schon mein erklärtes ziel, die geschwindigkeit anhand der kettenlinie zu ermitteln.
falls es dich interessiert, in 2 wochen fahre ich in einen adv.park und werde mal eine 100m bzw 120 m lange seilrutsche rutschen. würd gerne anhand der rechnerisch ermittelten werte es mit den tatsächlichen vergleichen wollen.! muss nur passendes technisches zubehör suchen/zusammenstellen...zb. beschleunigungssensor ( wusste garnicht das es sowas gibt )

was wäre, wenn ich die kettenlinie in gleich große segmente unterteile und dann die geschwindigkeit ermittle? also: anfangsbeschleunigung=0 man rutsch 1m, ermittelt die endgeschwindigkeit, die dann wiederum die startgeschwindigkeit des nächsten segmentes ist. diese strecken und winkel der segmente habe ich bereits in einer excel tabelle ermittelt.
aber selbst mit dieser methode wüsste ich nicht wie man das mathematisch ermittelt.

selbst noch nicht mal die vereinfachung mit den 2 schiefen ebenen.
danke
dirk

ps.: ich sende die meine emailadresse per PN

Hallo

Ich habe dir meine Unterlagen per email geschickt (den ersten Packen).



Dann hätte die Last jedenfalls weniger Einfluss auf die Seilkurve.


Ja klar. So kann man das machen, das ist dann eine numerische Integration. (genau genommen ein Euler-Verfahren)

Für jedes Segment nimmst du dann ein gerades Stück Seil an und berechnest mit Hilfe der Bewegungsgleichungen die Geschwindigkeit am Ende des Seils. Bei der Vorstellung das mit Excel zu machen stellen sich mir aber die Nackenhaare auf! Dafür gibt es bessere Programme. (zb. das genannte Scilab/XCos) Notfalls geht es aber auch mit Excel...

Aber dazu musst du eben erst mal die Trajektorie kennen, also Kurve die die Last im Raum beschreibt während sie herunterrutscht und das entspricht eben nicht der unbelasteten Seilkurve.




OK, ich verstehe. Das ist dann aber weniger ein mathematisches Problem, als ein physikalisches. Ich versuche das kurz im Prinzip zu erklären:

Alles geht vom Newtonschen-Gesetz aus:
F=m*a

F ist die (vektorielle) Summe aller auf das Objekt wirkenden Kräfte
m ist dessen Masse
a ist die daraus resultierende Beschleunigung

F setzt sich also zusammen aus der Gewichtskraft, der Normalkraft vom Seil (bzw. zusammengefasst die "Hangabtriebskraft") sowie dem Luftwiderstand (der Geschwindigkeits-abhängig ist) sowie dem Rollwiderstand.

So können wir also für jeden Zeitpunkt bzw. für jeden Punkt am Seil die entsprechende Beschleunigung berechnen. Diese Beschleunigung wird integriert (aufsummiert) und ergibt so die momentane Geschwindigkeit. (diese wird wiederum für den Luftwiderstand im nächsten Segment verwendet) Ich gehe von einer zeitbasierten Berechnung aus.

Mathematisch sieht das zb. so aus:
v_n+1 = v_n + a_n*Δt

v_n ist die Geschwindigkeit im aktuellen Segment
v_n+1 die im nächsten Segment
a_n ist die berechnete Beschleunigung
Δt ist der Zeitschritt

Wenn man die Geschwindigkeit nun abermals integriert bekommt man die zurückgelegte Wegstrecke:

x_n+1 = x_n + v_n*Δt

Anhand von x_n muss man dann jeweils wieder "nachsehen" welches Gefälle die Seilkurve an dieser Stelle gerade hat und damit kann man wiederum die Hangabtriebskraft für das nächste Segment berechnen usw.

Für x_0 bzw. v_0 muss man halt 0 einsetzen, bzw. falls man beim Start noch einen Schubser bekommt kann man das mit v_0 berücksichtigen.

Grundsätzlich kann man mit diesem Verfahren alle möglichen "Abfahrtsprobleme" berechnen. Das Streckenprofil kann zb. ja auch das einer Achterbahn sein. Das ist in groben Zügen die numerische Lösung eines sogenannten Anfangswertproblems nach dem Euler-Verfahren.

mfg Fritz

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hallo fritz,
vielen dank für deine unterlagen. das ist ja "hohe kunst" der mathematik. da komme ich noch nicht so ganz mit meinen schulmathematischen kenntnissen mit.

vieleicht will ich für den anfang doch erstmal zuviel ?!

evtl. ist es einfach und ausreichend, die geschwindigkeit an der seilkurve im unbelasteten zustand zu ermitteln. die berechnung mit der trajektorie scheint für meine mathe-kenntnisse zu schwierig zu sein.

um jetzt nochmal auf die schiefe ebene und unterteilung meiner seilkurve zu kommen:

Alles geht vom Newtonschen-Gesetz aus:
F=m*a

soweit so gut! das bedeutet:
F (fahrwiderstand)= F ( luft) + F ( roll) + F ( steig ) + F ( Beschleunigung)
jetzt ist aber in F ( luft) v^2 enthalten und in F (B) ist der trägheitsmoment ei enthalten. wie komme ich auf diese werte? hab grad ein knoten im kopf.
wie komme ich weiter um a= beschleunigung zu ermitteln?
die weiteren schritte sähen evtl. dann wohl so aus:
geschwindigkeit im aktuellen segment -----> v_n= wurzel ( 2*a*x_n) , x_n = teilstrecke
geschwindigkeit im nächsten segment -----> v_n+1= wurzel ( (v_n^2)+2*g*v_n) bei gefälle nach unten, anonsten wurzel((v_n^2) -2*g*v_n bei steigung am ende der seilkurve.

bin ich da jetzt irgenwie ganz falsch??

gruß dirk

Hallo



Naja, die Beschleunigung steht normalerweise auf der anderen Seite der Gleichung. Zwar ist es formal möglich den Term m*a auf die andere Seite zu bringen und als "Trägheitskraft" zu interpretieren (d’Alembertsches Prinzip), aber ich finde das eher verwirrend als hilfreich.


Das v bekommst du wiederum aus deiner Berechnung (vom letzten Zeitschritt).


Das Trägheitsmoment? Nein, eigentlich nicht, nur die Masse selbst. Es handelt sich ja um reine Translation (keine Rotation).



Ich versteh jetzt grad gar nicht wie du auf diese Formeln kommst, bei der 2. stimmen außerdem die Einheiten nicht...


Versuch es mal so:
Die Formel F=m*a stellen wir um, so dass a auf der linken Seite steht:

a=1/m * F

Für das aktuelle Segment n bedeutet das:

a_n = 1/m * F_n

F_n setzt sich wie bereits erwähnt aus mehreren Teilen zusammen:

F_n = F_steig_n + F_luft_n + F_roll_n

Alle diese Teile hängen wiederum von v_n und x_n ab. Das Ergebnis dieser ganzen Berechnung ist a_n.

Wie kommt man jetzt von einem Segment zum nächsten? Zunächst möchte ich erwähnen, dass es nützlich sein könnte zeitbasiert zu rechnen d.h. mit konstanten Zeitabständen, nicht mit konstanten Segmentlängen. (obwohl diese grundsätzlich auch variabel sein können)

Nun müssen wir noch v_n+1 und x_n+1 (Geschwindigkeit und Position im nächsten Zeitschritt) berechnen, wie ich bereits geschrieben habe:

v_n+1 = v_n + a_n*Δt

x_n+1 = x_n + v_n*Δt


Das Ganze wird dann wiederholt. Im nächsten Zeitschritt werden v_n+1 zu v_n und x_n+1 zu x_n, und fließen wiederum in die Berchnung ein, usw.

Jetzt musst du nur noch alles zusammenbauen.

mfg Fritz

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hallo fritz,
vielen dank für deine anregung. habe lange gegrübelt und bin nun etwas weiter gekommen.

habe als erstes die ableitung meiner funktion bestimmt um auf die steigung an stelle x zu gelangen:
f(x) =(e^(a*(x-b))+e^(a*(b-x)))/(2*a)+c
f´(x)=(ae^(ax-ab)-ae^(ab-ax))/2a
so hätte ich zwar die steigung an einer stelle(x) aber keine streckenlänge !?
oder wäre es besser den differenzenquotient zu bilden. mit : m=Δy/Δx=(y2-y1)/(x2-x1) um dann auf die "streckenlänge" zu kommen?

dann nochmal zusammenfassend:
F_steig= m*g* sin a
F_roll = m*g*cos a * müroll
F_luft = rohLuft/2*cw*A*V²
daraus folgt:
F= F_steig+F_roll+F_luft -----> müsste hier eigentlich nicht alles subtrahiert werden?
F= m*a --> daraus folgt:
a= F/m mit der beschleunigung kann ich dann ja weiter rechnen:
s=1/2*a*t² (hier kann ich ja die zeit vorgeben um auf die strecke zu kommen )
t= wurzel ( 2*s/a) ( hier kann ich die strecke vorgeben um auf die zeit zu kommen)
V= a*t
so kann ich nun strecke, zeit und geschwindigkeit bestimmen und in F-luft einsetzen.


jetzt hänge ich wieder fest, da ich nicht weiß, wie ich das zeitbasiert aufbaue und ermitteln kann.

gruß dirk

Hallo



Ja, ein guter Gedanke.


F_roll und F_luft sollten subtrahiert werden, ansonsten alles richtig.


Diese Formel darf man hier leider nicht anwenden, da sie nur für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen gilt (also aus den Stillstand). Wir möchten aber immer von einem Zeitschritt zum nächsten rechnen und da ist die Anfangsgeschwindigkeit halt nicht 0.

In Wahrheit geht es viel einfacher: Wenn wir die Zeitabstände klein genug wählen ändert sich die Geschwindigkeit inzwischen kaum und wir dürfen sie als konstant annehmen. Das habe ich versucht mit der Formel x_n+1 = x_n + v_n*Δt auszudrücken. In Worten: Die nächste Position ist gleich der alten Position plus Geschwindigkeit mal Zeitintervall.


Diese Formel brauchen wir hier nicht, da wir ja t bzw. Δt vorgeben. (außerdem gilt sie hier nicht...)


Auch diese Formel gilt nur für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen (aus dem Stillstand), da wir aber schon eine Anfangsgeschwindigkeit haben müssen wir diese dazu addieren. Wir erhalten die Formel die auch schon mal da stand:
v_n+1 = v_n + a_n*Δt
In Worten: Die neue Geschwindigkeit ist gleich der alten plus Beschleunigung mal Zeitintervall.

Diese beiden Formel dienen dazu von einem Zeitpunkt zum nächsten zu kommen.


Jetzt ist es nicht mehr schwer. Nimm ein Berechnungsprogramm deiner Wahl (meinetwegen auch Excel) und fütteres mit diesem Formeln:

Definiere zunächst den Zeitschritt Δt in einem einzelnen Feld. Wähle zb. 0.1 Sekunden oder evtl. noch genauer. Mache dann eine Spalte für die Zeit (diese wird in jeder Zeile um Δt erhöht).

Mache dann jeweils für α, F_steig, F_roll, F_luft, F und a eine Spalte und trage die entsprechenden Formeln ein.

Die beiden letzten Spalten sind für den Weg x und die Geschwindigkeit v. In die erste Zeile kommt 0 (bzw. der Startwert für die Geschwindigkeit), in die darauf folgenden Zeilen kommen die oben genannten Formeln. Die Werte mit Index n sind jeweils aus der Zeile darüber auszuwählen.

Dann kannst du in Excel die Formeln einfach nach unten ziehen, die Referenzen ändern sich normalerweise automatisch mit und beziehen sich wieder auf die aktuelle bzw. vorherige Zeile. (Ein Spezialfall ist nur Zeile 1)

Für die ganze Berechnung brauchst du noch ein paar Parameter die du in eigenen Feldern ablegen solltest. Diese dürfen beim hinunterziehen der Formeln natürlich nicht mitwandern. Dafür gibt es einen Trick in Excel, der mir aber jetzt grad nicht einfällt. (Hier bist du der Experte, du weißt bestimmt was ich meine...)


Was hier noch fehlt ist ein Abbruchkriterium, "das Programm" rechnet immer weiter, egal ob das Seil schon zu Ende ist oder nicht. Du musst also selbst erkennen wo das Ende ist und alle folgenden Werte einfach ignorieren.


mfg Fritz

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hallo fritz,
vielen dank,bin mal wieder einen schritt weiter. super erklärungen und toll wie du mich anspornst um "selber" darauf zu kommen.
in excel habe ich alles soweit angelegt, hänge aber jetzt wieder fest:



wie komme ich darauf?
über die erste ableitung erhalte ich ja nur die steigung an der stelle x, also die tangentensteigung!
mit einer sekantensteigung kann ich ja nicht arbeiten, da meine wegstrecke ja gekrümmt ist und ich auch nicht weiß, wo diese auf der x-achse liegt.

zwei vermutungen habe ich aber:
die strecke x_n (=hypotenuse) ist ja eigentlich nichts anderes als wurzel( Δt^2 + Δy^2) wobei man für Δy auch f`(x)*Δt schreiben kann. (?)
---> x_n = wurzel( Δt^2 + (f´(x)*Δt)^2)
---> f`(x)*Δt = wurzel( x_n^2 - Δt^2)
---> f`(x) = ( wurzel( x_n^2 - Δt^2) ) / Δt
oder:
---> x_n= wurzel( 1+ f´(x)^2 ) *Δt

nun weiß ich allerdings nicht, ob meine vermutung richtig ist, zumal ja dann die steigung am ende der wegstrecke ermittelt wird.

gruß dirk

Hallo



Ja, das stimmt. Aber praktisch gibt es hier keinen Unterschied zwischen Tangentensteigung und Sekantensteigung sofern die Schrittweite klein genug ist. Du kannst also einfach diese Ableitung als Steigung verwenden. Der Steigungswinkel α ist dann:

α = arctan(f'(x))

Ich habe bisher die Geschwindigkeit in y-Richtung implizit vernachlässigt (d.h. die horizontale Geschwindigkeit entspricht der Gesamtgeschwindikeit), da der Höhenunterschied hier nicht wirklich groß ist. Du kannst aber wenn du willst auch die y-Richtung problemlos mitnehmen, dann werden die Formeln halt ein bisschen länger.



Da stimmt was nicht, die Einheiten passen nicht zusammen...


mfg Fritz

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hallo,
super, super , super.
habs endlich, vielen, vielen dank.
V_max= 38,36 km/h bei x= 62,75m ( wundert mich, da der tiefpunkt der kurve bei x= 89,12 liegt)
endgeschwindigkeit V_end= 17,9 k/mh.

jetzt habe ich ja bei windstille die geschwindigkeit berechnet. wie kann ich denn die windgeschwindigkeit mit einbeziehen?
hättest du da eine idee für ich?
interessant wäre jetzt noch die kurve unter last ( zb an einer bestimmten stelle darstellen zu können).

ich danke dir auf jedenfall schonmal recht herzlich.
gruß
dirk

Hallo

Freut mich, dass es klappt. Du könntest ja noch ein paar Diagramme deiner Berechnung hochladen. (Geschwindigkeitsverlauf, Beschleunigungsverlauf, Höhenprofil, ...)


Das liegt wahrscheinlich an Luftwiderstand und Rollreibung. Die bremsen bei flachem Kurvenverlauf halt den Schwung halt schnell wieder ab.



Ja klar, du musst einfach nur die Windgeschwindigkeit zur Fahrgeschwindigkeit addieren. Du musst außerdem darauf achten das Vorzeichen der Widerstandskraft richtig zu berechnen. (Das ginge sonst beim Quadrieren verloren) Dazu kannst du einfach den Ausdruck v/abs(v) vor die Widerstandskraft stellen. (abs(v) meint den Betrag von v)

Bei Seitenwind wird die Sache ein wenig schwieriger: Da musst du erst die vektorielle Summe der Geschwindigkeiten berechnen, daraus den Kraftvektor berechnen und diesen dann wieder auf die Fahrtrichtung projizieren...

mfg Fritz

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hallo fritz,
das sich dir bei excel die nackenhaare aufstellen kann ich grade sehr nachvollziehen!!!!
gerne stelle ich die diagramme ein, wenn excel mich lässt

erstelle grade ein v/t diagramm und habe festgestellt, das die rutschzeit relativ lang ist. meiner meinung nach viel zu lang.
berechnung: t=x_n+1/v_n+1 ( an jeder stelle). t= 32sec ( rutschzeit bis ziel )

nochmal zur windgeschwindigkeit:
kann ich bei 100% rückenwind einfach die anfangsgeschwindigkeit= windgeschwindigkeit setzten und dann die berechnungen weiter laufen lassen?
das bedeutet aber doch, das die person direkt mit dieser geschwindigkeit losfährt?

Bei Seitenwind wird die Sache ein wenig schwieriger: Da musst du erst die vektorielle Summe der Geschwindigkeiten berechnen, daraus den Kraftvektor berechnen und diesen dann wieder auf die Fahrtrichtung projizieren...

ok, bekomme ich hin. was passiert allerdings mit der rechtwinkling zum seil wirkenden kraftvektor? der muss doch bestimmt mit beachtet werden? übt der nicht mehr "seitenreibung" auf die seilrolle aus?

gruß
dirk