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BeitragVerfasst: Sa Dez 02, 2017 5:28 pm 
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Zitat:
a) Wie hoch ist die Bahngeschwindigkeit \(v_A\) am Punkt A?
b) Wie hoch ist die Drehzahl N der Kugel am Punkt A?
c) Geben Sie den Geschwindigkeitsvektor \(\vec{v}\) der Kugel beim Verlassen der Rampe an.
d) Berechnen Sie die Höhe \(h_{max}\) und die an dieser Stelle vorliegende Bahngeschwindigkeit.
e) Begründen Sie ohne Rechnung, warum die Bahngeschwindigkeit am Punkt B höher sein muss als am Punkt A.


Bei der auf dem Bild dargestellten Aufgabe würde ich wie folgt vorgehen:

a)

R = Radius der Kugel.

Die Kugel hat an dem Startpunkt die potenzielle Energie \(E_{pot} = mgh\). An Punkt A beträgt die Energie der Kugel \(E_{kin} + E_{rot} \) mit \(E_{kin} = \frac{1}{2} mv^2\) und \(E_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2\). Für eine Kugel beträgt \(I = \frac{2}{5}mR^2\). Außerdem: \(\omega = vR\). Aufgrund des Energieerhaltungssatzes gilt: \(E_{pot}=E_{kin}+E_{rot}\).

Somit:

\(mgh=\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{2}{5}mR^2v^2R^2\)
\(gh=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{2}\frac{2}{5}R^2v^2R^2\)
\(2gh=v^2+\frac{2}{5}R^4v^2\)
\(2gh=v^2(1+\frac{2}{5}R^4)\)
\(\sqrt{\frac{2gh}{(1+\frac{2}{5}R^4)}} = v\)

Stimmt das so?

Bei b) könnte ich dann mit der ausgerechneten Geschwindigkeit \(N=\frac{\omega}{2\pi} \Rightarrow N=\frac{vR}{2\pi}\) verwenden, um die Drehzahl herauszufinden.

Müsste ich dann bei c) die neue Geschwindigkeit mit \(mgs=\frac{1}{2}mv_s^2 + \frac{1}{2}\frac{2}{5}mR^2v_s^2R^2\) berechnen, um die Gesamtgeschwindigkeit zu erhalten?

Damit könnte ich dann wie folgt weiterrechnen:
\(\begin{pmatrix}v_x \\ v_y\end{pmatrix}\) mit \(v_x = v_s * cos(\alpha)\) und \(v_y=v_s*sin(\alpha)\) oder denke ich hier gerade irgendwie zu einfach?

Um dann d) zu ermitteln würde ich wie folgt vorgehen:

\(0=v_s*\sin(\alpha)-gt_{steigzeit} \Rightarrow t_{steigzeit}=\frac{v_s*\sin(\alpha)}{g}\)
\(y_max=-\frac{1}{2}gt_{steigzeit}^2+v_st_{steigzeit}+s\)

Damit hätte ich die maximale Wurfhöhe. Wie würde ich von hier zur Bahngeschwindigkeit kommen?

Bei e) würde ich argumentieren, dass die Bahngeschwindigkeit durch die Reibung der Kugel mit der Rampe gebremst wird. In der Luft ist die Reibung geringer und das Ding daher schneller XD


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BeitragVerfasst: Sa Dez 02, 2017 8:23 pm 
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Da hast Du Dich bei Aufgabenteil a) bereits kräftig vertan. Denn ω=vR ist falsch. Richtig ist stattdessen ω=v/R. Der Energieerhaltungssatz für diese Aufgabe lautet dann

\(\Large m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_A^2+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot m\cdot\omega_A^2\cdot R^2=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_A^2+\frac{1}{5}\cdot m\cdot v_A^2=\frac{7}{10}\cdot m\cdot v_A^2\)

\(\Large \Rightarrow\quad v_A=\sqrt{\frac{10}{7}\cdot g\cdot h}\)


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BeitragVerfasst: Sa Dez 02, 2017 9:46 pm 
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EviL_GaMer hat geschrieben:
Bei b) könnte ich dann mit der ausgerechneten Geschwindigkeit N=ω/2π ⇒ N=vR/2π verwenden, um die Drehzahl herauszufinden.


Derselbe Fehler wie bei a), was Du auch - ebenfalls wie bei a) - sofort an der falschen Dimension sehen müsstest. Die Drehzahl hat die Dimension 1/Zeit, während nach Deiner Rechnung Fläche/Zeit herauskommt.


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BeitragVerfasst: Sa Dez 02, 2017 10:57 pm 
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Danke für den Hinweis, habs tatsächlich falsch aus der Formelsammlung abgelesen :oops:


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BeitragVerfasst: Sa Dez 02, 2017 11:00 pm 
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EviL_GaMer hat geschrieben:
Müsste ich dann bei c) die neue Geschwindigkeit mit mgs= ...


Das ist nicht richtig. Richtig wäre m*g*(h-s)= ... (und dann natürlich die richtige Beziehung zwischen v und ω einsetzen).

Aufgabenteil d) würde ich ebenfalls mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes lösen.
Achtung: Korrektur! Im Folgenden stand vorher etwas Falsches.
Dabei ist zu beachten, dass die Rotationsenergie und der Horizontalanteil der Translationsenergie ab Höhe s sich nicht mehr ändern, da die Horizontalgeschwindigkeit und die Drehzahl beibehalten bleiben.

\(\Large m\cdot g\cdot h=m\cdot g\cdot h_{max} +\frac{1}{2}\cdot m\cdot \left(v_{s}\cdot\cos{\alpha}\right)^2+\frac{1}{2}\cdot J\cdot\omega_s^2\)

\(\Large m\cdot g\cdot h=m\cdot g\cdot h_{max}+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_s^2\cdot\cos^2{\alpha}+\frac{1}{5}\cdot m\cdot v_s^2=m\cdot g\cdot h_{max}+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_s^2\cdot \left(\cos^2{\alpha}+\frac{2}{5}\right)\)
mit (aus Aufgabeteil c)
\(\Large v_s^2=\frac{10}{7}\cdot g\cdot (h-s)\)

Einsetzen, m*g kürzen und nach hmax auflösen.

Die Bahngeschwindigkeit im Gipfelpunkt ist natürlich gleich der Horizontalkomponente von v_s.

Zu e)
Hier mit der Reibung zu argumentieren, ist einigermaßen unseriös. Denn dann hättest Du auch zuvor schon die Reibenergie in Deiner Rechnung berücksichtigen müssen. Nein, hier kannst Du ebenfalls mit dem Energieerhaltungssatz argumentieren. Danach muss die Gesamtenergie in Punkt A und Punkt B dieselbe sein. In beiden Punkten setzt sich die Energie zusammen aus Translationsenergie und Rotationsenergie (die potentielle Energie ist in beiden Punkten Null). Der rotatorische Anteil in Punkt B ist derselbe wie der in der Höhe s, da die Drehzahl ab Höhe s sich nicht mehr ändert. Damit ist der rotatorische Energieanteil in B geringer als der in Punkt A. Wenn also der rotatorische Anteil in Punkt B geringer ist als der in Punkt A, die Gesamtemnergie aber dieselbe, muss der translatorische Anteil in Punkt B größer sein als der in Punkt A. Der translatorische Anteil errechnet sich aus der Bahngeschwindigkeit. Eine höhere Translationsenergie in B bedeutet demnach auch eine höhere Bahngeschwindigkeit in B als in A.


Zuletzt geändert von GvC am So Dez 03, 2017 1:39 pm, insgesamt 1-mal geändert.

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BeitragVerfasst: So Dez 03, 2017 12:04 pm 
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GvC hat geschrieben:
EviL_GaMer hat geschrieben:
Müsste ich dann bei c) die neue Geschwindigkeit mit mgs= ...


Das ist nicht richtig. Richtig wäre m*g*(h-s)= ... (und dann natürlich die richtige Beziehung zwischen v und ω einsetzen).



Wieso muss ich von der ursprünglichen Höhe h die neue Höhe s abziehen? Ist die Energie, die an dem tiefsten Punkt ist, nicht gleich der potentiellen Energie auf der Höhe s?

GvC hat geschrieben:
Dabei ist zu beachten, dass die Rotationsenergie ab Höhe s sich nicht mehr ändert, da die Drehzahl beibehalten bleibt, weil die Rollbedingung nicht mehr erfüllt ist.


Inwieweit geht das in die Formel ein? So wie ich das sehe, ist die Formel, die du verwendet hast, \(E_{pot,h} = E_{pot,h_{max}} + E_{rot}\) oder sehe ich das falsch?


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BeitragVerfasst: So Dez 03, 2017 1:07 pm 
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EviL_GaMer hat geschrieben:
Wieso muss ich von der ursprünglichen Höhe h die neue Höhe s abziehen?


Enegieerhaltungssatz: Die Gesamtenergie in einem System bleibt erhalten, kann aber in unterschiedlichen Formen vorliegen. In der vorliegenden Aufgabe sind das die potentielle und die kinetische Energie. Die kinetische Energie kann als Translations- und als Rotationsenergie vorliegen. Jetzt schau Dir mal die drei Energieformen in den beiden Punkten, nämlich in Höhe h und in Höhe s an:

In Höhe h:

\(\Large E_h=E_{pot,h}+E_{trans,h}+E_{rot,h}\)
mit
\(\Large E_{pot,h}=m\cdot g\cdot h\)
\(\Large E_{trans,h}=0\)
\(\Large E_{rot,h}=0\)

In Höhe s:
\(\Large E_s=E_{pot,s}+E_{trans,s}+E_{rot,s}\)
mit
\(\Large E_{pot,h}=m\cdot g\cdot s\)
\(\Large E_{trans,h}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_s^2\)
\(\Large E_{rot,h}=\frac{1}{2}\cdot J\cdot \omega_s^2\)

Jetzt Anwendung des Energieerhaltungssatzes:

\(\Large E_h=E_s\)
\(\Large E_{pot,h}+E_{trans,h}+E_{rot,h}=E_{pot,s}+E_{trans,s}+E_{rot,s}\)
\(\Large m\cdot g\cdot h+0+0=m\cdot g\cdot s+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_s^2+\frac{1}{2}\cdot J\cdot \omega_s^2\)

m*g*s auf die linke Seite und m*g ausklammern:

\(\Large m\cdot g\cdot (h-s)=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_s^2+\frac{1}{2}\cdot J\cdot \omega_s^2\)

und dann genauso weiter wie in Aufgabenteil a), halt nur mit (h-s) anstelle von h.

EviL_GaMer hat geschrieben:
Ist die Energie, die an dem tiefsten Punkt ist, nicht gleich der potentiellen Energie auf der Höhe s?


Nein, die Energie im tiefsten Punkt (Punkt A) ist gleich der potentiellen Energie auf der Höhe s plus der Translationsenergie und der Rotationsenergie in der Höhe s. Die Energie im tiefsten Punkt ist aber gleichzeitig gleich der Energie im höchsten Punkt (Höhe h), also brauchst Du das Zwischenergebnis für Punkt A (Höhe 0) gar nicht hinzuschreiben, sondern vergleichst einfach die Energien in Höhe h mit den Energien in Höhe s.

EviL_GaMer hat geschrieben:
Inwieweit geht das in die Formel ein? So wie ich das sehe, ist die Formel, die du verwendet hast, Epot,h=Epot,hmax+Erot oder sehe ich das falsch?


Nein, das siehst Du vollkommen richtig. Diese Formel habe ich verwendet. Allerdings habe ich für die Rotationsenergie in Höhe hmax diejenige Rotationsenergie der Höhe s verwendet, also müsstest Du Erot,s anstelle von Erot schreiben.

An dieser Stelle fällt mir auf, dass ich einen schweren Fehler gemacht habe.
Ich habe nämlich die Translationsenergie in Höhe hmax vergessen. Sie ist dieselbe wie der horizontale Anteil der Translationsenergie in Höhe s. Ab Höhe s ändern sich Horizontalgeschwindigkeit und Drehzahl niocht mehr. Die richtige Gleichung muss also lauten:

\(\Large m\cdot g\cdot h=m\cdot g\cdot h_{max}+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{s,trans}^2+\frac{1}{2}\cdot J\cdot\omega_s^2=m\cdot g\cdot h_{max}+\frac{1}{2}\cdot m\cdot \left(v_{s}\cdot\cos{\alpha}\right)^2+\frac{1}{2}\cdot J\cdot\omega_s^2\)

Ich werde diesen Fehler in meinem vorigen Beitrag noch korrigieren. Sorry für die Verwirrung, die ich möglicherweise gestiftet habe.


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