Physik Forum

[johannes95]

Hi User,

Kann mir jemand erklären wie ich die Periodendauer einer schwingung von einem Pendel berechne? Dabei möchte ich nur die masse(m/g) Den Winkel(sin/°) und die Länge des Fadens(l/m) verändern. Kann mir jemand so eine Gleichung aufstellen? ich weiß leider nur sehr ungenau wie man eine schwingung berechnet. Hier http://de.wikipedia.org/wiki/Physikalisches_Pendel habe ich schon die passende Gleichung für die Periodendauer T endeckt, aber ich weiß nur masse Länge und winkel. nicht w oder I.
Ich hoffe mir kann jemand die schewingung folgender werte ausrechnen:
l=0,5m sin=30° m=50g

[Fritz]

Hallo

Bei deinem Pendel handelt es sich vermutlich um ein 'mathematisches Pendel' und nicht um ein 'physikalisches', da die Masse in einem Punkt konzentriert ist. (Natürlich werden trotzdem physikalische Vorgänge beschrieben, das ist nur so eine Bezeichnung)

Im Allgemeinen erhält man wenn man die physikalischen Gleichungen dieses Systems aufgeschrieben hat eine nichtlineare Differentialgleichung. Diese ist jedoch mit den mir bekannten Mitteln nicht analytisch lösbar.

Deshalb wird meißt eine Annahme der geringen Auslenkung getroffen. Schwingt das Pendel nur mit geringer Amplitude, so kann die Differentialgleichung in guter Näherung linearisiert werden. Diese lineare Differentiallgleichung kann man nun lösen und erhält damit die Periodendauer.

Ist das Ganze für die Schule oder für ein privates Projekt?

Wie man so eine Differentialgleichung aufstellt und löst kann ich dir gerne zeigen. Bist du mit dem Differenzieren vertraut?

Falls du nur am Ergebnis interessiert bist, hilft dir auch die Wikipedia.

Wenn du dich mit der linarisierten Lösung nicht zufrieden gibst kann man das ganze auch von einem Rechner simulieren lassen, dafür gibt es hervorragende Programme, für diesen einfachen Fall könnte man sogar selbst eins schreiben.

[johannes95]

Erstmal danke für die Schnelle Antwort. Dies ist für mein privates Projekt. Ich möchte ein en Script mit PHP schreiben um die Schwingungs Periode auszurechnen. Der Nutzer kann dann sein gewünschtes gewicht länge und Winkel hinschreiben. Ist sin nicht der Winekl? Also wo man das Gewicht hält bevor man es loslässt.
Ich bin an allen weiteren Erklärung interissiert. Da ich mich etwas "fortbilden" will und dieses Projekt nur mache weil ich mich dafür interrissiere.

[Fritz]

Hallo

Also als erstes:

Der sin ist nicht der Winkel!

Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion, die wie folgt definiert ist:

In einem rechtwinkeligen Dreieck ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse der Sinus des gegenüberliegenden Winkels.

Die Sinusfunktion bildet also einen Winkel auf ein Längerverhältnis ab. Oder noch einfacher: Das was in den Klammern steht ist ein Winkel, das was beim Sinus rauskommt ist dimensionslos.


Zum mathematischen Pendel:

Bei diesem Pendel ist die Schwingungsdauer beinahe von der Amplitude und der Masse unabhängig, sondern hängt nur von der Pendellänge ab. (Deshalb verwendete man früher auch Pendel als Taktgeber für Uhren)

Ich gehe im folgenden davon aus, dass du weißt was eine Ableitung ist. Für die mechanischen Betrachtungen beachte bitte die angehängte Skizze:
http://www.cshare.de/file/e29a1500964550141d9fa4e195fd07cc/Pendel.png.html


Man stelle für die Masse die Newtonschen Gesetze auf:

Das Pendel sei um den Winkel φ ausgelenkt, die Winkelbeschleunigung ist dann d²φ/dt².

Die Beschleunigung des Massenpunktes folgt dann zu a=L*d²φ/dt² (φ wird in Radiant gemessen!)

Die Gewichtskraft auf die Masse ist Fg=m*g, die Kraft in Tangentialrichtung ist dann Ft=m*g*sin(φ)

Es gilt also:

m*a=-m*g*sin(φ) ('-' weil die Kraft entgegen der Beschleunigung wirkt)

Man erkennt bereits hier, dass die Masse völlig aus der Gleichung herausfällt, sie spielt also keine Rolle und es verbleibt:

a=-g*sin(φ)

oder:

L*d²φ/dt²=-g*sin(φ)

Man erhält also eine nichtlineare Differentiallgleichung 2. Ordnung in φ.
Diese ist wie bereits erwähnt nur näherungsweise lösbar, wir nehmen also im folgenden an die Amplitude φ sei genügend klein.

Aus sin(φ) wird dann einfach zu φ. (φ wiederum in Radiant) Gleiches Ergebnis erhält man wenn man die Sinusfunktion in einer Taylorreihe entwickelt und nur den ersten Term betrachtet.

Die DGL wird dann zu:

L*d²φ/dt²=-g*φ

Dies ist nun eine lineare, homogene DGL und lässt sich am einfachsten mit einem Ansatz lösen, wir setzen also an:

φ(t)=A*sin(ω*t)

A sei dabei die Schwingungsamplitude und ω die Kreisfrequenz, t natürlich die Zeit.

Diese Ansatzfunktion wird nun 2 mal zeitlich abgeleitet:

d²φ/dt²=-A*ω²*sin(ω*t)

und dann in die DGL eingesetzt:

-A*L*ω²*sin(ω*t)=-g*A*sin(ω*t)

Man erkennt, dass die Amplitude A herausfällt, die Lösung der Kreisfrequenz hängt also nicht von A ab. Es verbleibt:

L*ω²*sin(ω*t)=g*sin(ω*t)

Auch die Sinusfunktion fällt heraus (das muss ja auch so sein bei einer linearen DGL)

L*ω²=g

Die Kreisfrequenz ist also:

ω=sqrt(g/L) (sqrt bedeutet square root - Quadratwurzel)

Die Frequenz ist ja f=ω/(2*π), die Periodendauer wiederum

T =1/f=2*π/ω= 2*π*sqrt(L/g)

So, ich hoffe das war nicht zu viel auf einmal

mfg Fritz

[johannes95]

Hi, Ich habe jetzt einige tage gebraucht um diesen post etwas zu verstehen. Leider verstehe ich es imemr noch nicht. kannst du bitte die Rechnungen etwas einfacherer fassen? Ich begreife es so leider nicht.

[Fritz]

Hallo

Ich weiß, ganz so einfach ist es leider nicht. Gerne erkläre ich dir meine Rechnung genauer. Aber ich glaube es wäre gut wenn du mir Punkt für Punkt sagst was im Detail du nicht verstehst. Es bringt wenig einfach nochmal alles hin zu schreiben.

Ich habe vor kurzem auch eine Vorlesung gefunden bei der all diese Dinge sehr gut erklärt werden:

http://www.youtube.com/watch?v=__2YND93ofE&feature=related

Am Anfang kommt etwas Hooksches Gesetz, dann kommt Feder Masse Schwinger und bei Minute 29 kommt das Pendel.

Die Erklärung ist im Wesentlichen die gleiche wie ich sie gebracht habe, aber etwas ausführlicher. Aber vielleicht hilft dir das auch weiter.

mfg Fritz

[johannes95]

also ich verstehe nicht ganz was "a", dt ist. Sonst verstehe ich die ersten Schritte ghnaz gut. Das vid. ist mir etwas zu komplizuert.

[Fritz]

Hallo

mit 'a' meine ich die Beschleunigung. Also die Ableitung der Geschwindigkeit, oder die 2 fache Ableitung des Weges: a=d²x/dt²

So wie sie im Newtonschen Gesetz verwendet wird: F=m*a
Kraft = Masse * Beschleunigung

mit dx/dt meine ich die Ableitung der Größe x nach der Zeit t

d²x/dt² ist entsprechend die 2 fache Ableitung von x nach t.

mfg Fritz

[miami-vice]

Eig ganz einfach Johannes betrachten wir das ganze für kleine Auslenkungen sodass es linear dargestellt werden kann alles andere ist an dieser Stelle für dich überzogen und auch nicht relevant denk ich mal .. da alles andere zu weit führt

Zeichne dir am besten einfach mal ein Pendel auf und die Auftretenden Kräfte
dann wirst du sehen sin(alpha)=Frück/Fg beträgt
alpha=s/l (alpha = winkel im bogenmaß s = strecke im bogenmaß durch l = länge des Fadens
also kann man schreiben
Frück=-m*g*sin(s/l) (das Minus weil die Kraft zur Nulllage hin gerichtet ist)
Dann ergibt sich für
D=Frück/s
gehen wir nun davon aus das das Pendel nicht alzu weit ausgelenkt wird
und somit harmonisch schwingt ergibt sich
D=(m*g*sin(alpha))/(l*alpha)
sin(alpha)/alpha wird für kleine Winkel alpha nahezu eins also kann man als D schreiben D=m*g/l = const.
was auch eine harmonische Schwingung bedeuten würde
dann noch in die allgemeine Formel für die Periodendauer eingestetzt ergibt sich
T=2pi*sqrt(m/D)
m kürzt sich raus
T=2pi*sqrt(l/g) und diese Betrachtung für die Periodendauer ist in deinem Fall sicher ausreichend. Und wie du siehst ist sie dann von der Masse unabhängig. Diese Formel wird in der Oberstufe durchgängig verwendet.
Was aber an der Stelle keineswegs heisst das Fritz unrecht hat er formuliert das ganze natürlich ausführlich und bis ins Detail auch richtig

[johannes95]

Danke für eure große Hilfe Endlich habe ich es geschafft. Momentan ist wegen technischen schwierigkeiten der rrechner nur hier zusehen:
www.vielecheats.de/form_pendel.php