Physik Forum

[ReVenGe]

Hey,

könnt ihr mir sagen, wie ich das Potenzial in einem Kondensator beschreiben kann. Bitte in einfachen Worten, Wikipedia war schon zu schwer

Danke im vorraus

mfg

[GvC]

phi = - integr(E ds) + K

Die Integrationskonstante ergibt sich aus der willkürlichen Festlegung des Nullpotentials. Im Kondensator wird üblicherweise einer der beiden Elektroden das Potential Null zugewiesen. Dann hat die andere Elektrode das Potential +U oder -U, je nachdem, in welche Richtung die Spannung angelegt ist.

[ReVenGe]

kannst du mir noch einmal erklären, was die integrationskonstante ist und das nullpotential? phi sol das, das potenzial sein?

mfg

[Tessa2]

[GvC]

Lasst uns mal den Ansatz von Tessa2 weiterverfolgen. Wir sind uns einig, dass die Feldstärke in der Umgebung einer geladenen Kugel sich bestimmt zu

[;E=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2} ;]

Diese Kugel sei die Innenkugel eines Kugelkondensators. Die Ladung ist da nur drauf, weil eine Spannung U zwischen Innen- und Außenkugel angelegt wurde. Dann stellen wir zunächst mal den Zusammenhang zwischen Q und U her, da die Spannung am Kondensator die vorgegebene Größe ist, und nehmen dabei an, dass die Spannung von [; r_i ;] nach [; r_a ;] gerichtet sei, also auch die Feldstärke von der Innenkugel ausgehend radial nach außen gerichtet ist. Dann gilt:

[; U = \int_{r_i}^{r_a} \frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}\, dr = \frac{Q}{4\pi \epsilon}\cdot (\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}) ;]

Der Ausdruck [; \frac{Q}{4\pi \epsilon} ;] kommt später nochmal vor, und wir können uns merken, dass er nach vorstehender Gleichung durch die Spannung U und die Geometrie des Kugelkondensators ersetzt werden kann:

[;\frac{Q}{4\pi \epsilon} = \frac{U}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}} ;]

Nun wenden wir die allgemeine Gleichung für das Potential an:

[; \varphi = - \int \frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}\, dr = \frac{Q}{4\pi \epsilon r} + K ;]

Die Integrationskonstante hängt nun von der Definition des Nullpotentials ab. In einem begrenzten elektrostatischen Feld definiert man das Nullpotential üblicherweise an der Stelle, an der das Feld endet, in unserem Fall also an der Stelle [; r_a ;]. Also

[; \varphi (r_a) = 0 = \frac{Q}{4\pi \epsilon}\cdot \frac{1}{r_a} + K ;]

Daraus folgt

[; K = - \frac{Q}{4\pi \epsilon}\cdot \frac{1}{r_a} ;]

Eingesetzt in die obige Lösungsgleichung für [; \varphi ;], ergibt sich

[; \varphi = \frac{Q}{4\pi \epsilon}\cdot \frac{1}{r} - \frac{Q}{4\pi \epsilon}\cdot \frac{1}{r_a} = \frac{Q}{4\pi \epsilon}\cdot (\frac{1}{r} - \frac{1}{r_a}) ;]

Nun ersetzen wir noch [; \frac{Q}{4\pi \epsilon} = \frac{U}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}} ;] und erhalten

[; \varphi = \frac{U}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}}\cdot (\frac{1}{r} - \frac{1}{r_a}) ;]

Wir hätten natürlich das Nullpotential im Unendlichen definieren können. Dann hätte sich ergeben

[; \varphi = \frac{U}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}}\cdot \frac{1}{r} ;]

und damit

[; \varphi (r_i) = \frac{U}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}}\cdot \frac{1}{r_i} ;]
[; \varphi (r_a) = \frac{U}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}}\cdot \frac{1}{r_a} ;]

Die Potentialdifferenz zwischen Innen- und Außenkugel muss dann natürlich gleich der anliegenden Spannung U sein:

[; \varphi (r_i) - \phi (ra) = \frac{U}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}}\cdot (\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}) = U ;]

[Tessa2]

Ich hatte nur eine Kugel genommen, die Außenschalr im Unendlichen.

Wenn ich nun GvCs Formel benutze: