Physik Forum

[Tobi91]

Hey Leute,
brauche dringend Hilfe bei einer Aufgabe bei der ich nicht weiter komme und bin da auf dieses Forum gestoßen

"Ein optisches Gitter hat 5000 Striche pro cm. Es wird mit einem Laser bestrahlt, dessen Licht eine Wellenkänge von Lambda= 560 nm hat. Berechnen sie die Abstände des zweiten und dritten Maximums vom ersten auf einem Schirm, der im Abstand von 3m parallel zum Gitter aufgestellt ist."

Meine bisherigen Überlegungen:

Gitterkonstante g = 1/500.000m
Abstand Schirm-Gitter d = 3m
Wellenlänge Lambda= 560*10-9m

Jetzt weiß ich nicht mit welcher Gleichung ich das Rechnen muss - stehe da völlig auf dem Schlauch.
Grüße Tobi

PS: Habe von meinem Lehrer Kontrollergebnisse bekommen, und zwar: a1= 0,875m
a2= 2,03m
Komme aber einfach nicht auf diese Werte.

[isi1]

[evB]

Wir haben immer diese einfachere Näherungsformel benutzt:

n: natürliche Zahl
lamda: Wellenlänge in Meter
g: Gitterkonstante in Meter
a_n: Abstand des Maximums von der Schirmmitte in Meter
e: Abstand des Schirmes vom Gitter in Meter

[Tobi91]

Danke erstmal für eure Antworten!

@isi1: Da steige ich leider nicht durch Kannst du das villeicht genauer erklären wie du mit meinen Werten und deiner Formel auf das Ergebnis kommst?

@ evB: Sieht schon irgendwie einfacher aus. Muss ich diese Gleichung nach a umstellen? Es wäre super hilfreich wenn du mir das mit der Formel einmal vorrechnest damit ich das auf andere Aufgaben übertragen kann.
Woher weiß ich was n ist? (Vermutlich eine blöde Frage..)

Grüße

[isi1]

[evB]

n steht für das n. Maximum. Das in der Mitte ist 0, das erste zu jeder Seite ist dann das erste Maximum. Noch weiter entfernt ist dann das 2. Maximum. Das hier hilft vielleicht:




Hier ist nochmal die Skizze, die isi1 schon gezeigt hat. Ich habe oben links noch den Teil am Gitter/Doppelspalt vergrößert.



Das wichtige ist, dass die beiden Wellen, also die obere und die untere zusammen konstruktiv interferieren, also dass sich Täler und Berge überlappen. Daher muss der Gangunterschied (g * sin alpha) auch ein Vielfaches der Wellenlänge, also n*lambda sein.

Dann schaut man, dass man im großen Dreieck (untere Skizze) eine Entsprechung für alpha oder sinus alpha findet. Wenn man annimmt, dass l nicht wesentlich länger als e ist, kann man einfach folgendes annehmen:



Dabei ist ist a_n der Abstand von der Schirmmitte zu dem Maximum. Je nach Maximum, muss man eben unterschiedlich weit von der Schirmmitte weg gehen.

Setzt man dann den Ausdruck für den Sinus oben in die Bedingung ein, die wir aus dem kleinen Bild abgeleitet haben, dass der Gangunterschied in vielfaches der Wellenlänge sein muss ...



... erhält man die Formel:




Verständlich?

[Tobi91]

Danke das hat schon sehr geholfen!
Heißt das wenn ich diese Formel nach an umstelle kann ich die Abstände ausrechnen?
Wenn ich sie nach an umstelle erhalte ich an=(nLambda/g)*e
Kann das angehen oder ist hier schon ein Fehler?
Denn wenn ich dann die Werte einsetze komme ich für a1 auf 0,84m und a2= 1,68m .

@ isi1: Ich persönlich finde den Ansatz von evB deutlich einfacher und verständlicher, da hier der ganze Kram mit sinus usw. mehr oder weniger wegfällt. Darin war ich noch nie gut.
Verstehe ich also richtig, dass wenn man es richtig macht auch mit der Gleichung von evB aufs Ergebnis kommt?
Wäre super wenn ihr mir mal zeigen könntet wie die Formel dann richtig umgestellt und eingesetzt aussehen müsste.

Es tut mir leid wenn ich mich hier dumm anstelle, aber ich habe ein absolutes Brett vorm Kopf was diese Rechnung angeht =(

[evB]

Ja, du kannst es so umstellen:



Für n=1, also a_1 bekommst du ja durchaus ein brauchbares Ergebnis heraus. Das Problem mit meiner Formel ist, dass sie eine brutale Näherung ist, und je weiter du vom Mittelpunkt (also größere n) weg gehst, desto ungenauer wird sie. Daher liegt dein Ergebnis für n=2 auch schon so daneben. Von daher wirst du nicht drum herum kommen die Formel von isi1 zu benutzen, weil sie einfach exakt ist.




Eine Möglichkeit gäbe es noch, du kannst anstelle der Näherung e = l auch direkt l nehmen, das wurde jedoch nicht gemessen, von daher musst du dann den Satz des Pythagoas nehmen. Die Formel sähe dann so aus:




Die müsstest du aber auch nach a_n umstellen, um sie zu benutzen. Wenn ich jetzt gerade nicht falsch liege, sollte diese Formel auch exakt sein. So kannst du dann genau rechnen ohne Trigonometrie.

Aber Trig ist schon sehr hilfreich, von daher würde ich dir empfehlen diesen Ansatz auch zu verstehen.

[Tobi91]

Hmm die Formeln nach an umzustellen ist für mich so gut wie unmöglich Bin nicht so der Matheprofi

Wenn du mir die noch umstellen kannst, dann habe ich glaube ich alles was ich brauche .. ich wäre dir wirklich sehr dankbar (bin ich übrigends jetzt schon )

[evB]

Dann mache ich das mal Schritt für Schritt, damit die Angst verlierst:



Wir dividieren zuerst durch g:



Dann wenden wir die Umkerfunktion des Sinus, den Arcus-Sinus an. Das machen wir auf beiden Seiten. Dabei ist zu beachten, dass wenn ich arcsin(sin(x)) schreibe, dann wieder x rauskommt. Weil wenn ich den Sinus von etwas nehmen, und dann wieder rückgängig mache, habe ich das vorherige wieder da. Das ist ja auch der Sinn der Umkerfunktion.



wird zu



Jetzt kommt die gleiche Logik für den Arctan, jedoch müssen wir jetzt hier den normalen Tangenz nehmen.



wird zu



Jetzt noch mit e multiplizieren:



Das kannst du so in den Taschenrechner eingeben. Arcus-Sinus heißt entweder arcsin, asin oder sin^-1, wobei letzteres eigentlich falsch ist, aber das ist ein anderes Thema.

Diesen Versuch macht man doch eigentlich erst in der Oberstufe. Da solltest du doch das bisschen Algebra schaffen, oder? Oder warst du nur zu faul?

[isi1]

[Tobi91]

Es klappt - tausend dank an euch beide