Physik Forum

[totti]

Ich habe eine Frage , vlt kann jmd mir helfen wie ich hier anfangen soll, wäre nett Danke im vorraus.

Kraftegleichgewicht in einer Ladungsverteilung
Betrachten Sie einen Punkt P im Vakuum. Im ubrigen Raum gibt es eine beliebige,statische Ladungsverteilung. Zeigen Sie, dass der Punkt P keine stabile Gleichgewichtsposition für eine Probeladung q sein kann. (Der triviale Fall ohne Ladung im Raum ~E(~r) = (0; 0; 0) fur alle ~r - ist auszuschließen). Hinweise: Wie musste die Kraft ~F(~r) in der Umgebung von P sein, wenn P eine stabile
Gleichgewichtslage wäre? Die Untersuchung der Stabilitat führt Sie auf eine Gleichung die einen Laplaceoperator enthalt. Vergleichen Sie z.B. mit dem harmonischen Oszillato

Mit Grußß

[evB]

Das Stichwort Lapace-Operator sagt mir, dass ich das Problem nicht so lösen kann, wie es gelöst werden soll.

Aber wenn ich eine Ladung genau zwischen zwei gleichen Ladungen habe, ist die doch im Gleichgewicht, oder?

[totti]

ich denke nein , also macht keine gleichgewicht.
wass willste damit sage??

Also was ich bis jetzt verstanden hab, dass es gibt zwei Raume , in eine Vakumm und andere Ladung´!! also bedeutet das vlt dass im Vakumm ladungsdichte=0 ??

[Frank]

[GvC]

[evB]

So etwa?

Elektronen bei x=0 und x=2, Kraftverteilung für eine positive Testladung:


Wenn es nicht auf dem Hügel bei x=1 steht, dann rollt die Testladung runter und es ist labil.


Positron bei x=0 und x=2, Kraftverteilung für eine positive Testladung:


Hier gibt es gar keine Kuhle, in die die Testladung fallen kann. Auf das Elektron gefallen zählt nicht als Gleichgewicht, oder?


Positron bei x=0 und Elektron bei x=2, Kraftverteilung für eine positive Testladung:


Das letzte sieht da stabil aus, weil die Testladung dann zu x=1 "rollt" und dann von beiden Seiten abgestoßen wird. Und die Kraft wirkt der Auslenkung entgegen.

Jedoch kann es immer noch zur Seite weg, daher ist das gar nicht soo stabil:




Aber wäre es nicht in der Mitte von drei Ladungen stabil?

[Frank]

@GvC

[totti]

also evB , warum haste x=0 und x=2 genommen?
also du haste hier einmal positive ladungsverteilung genommen und zweitemal negative und letztens die beiden zusammen.

aber in der Frage steht dass es nur eine punktladung gibt deswegen soll ich dem dritten Fall nicht nehmen, od.?

[isi1]

Wenn die Ladungen ungleich sind, ziehen sie sich jedenfalls an, denn es steht da: 'im Vakuum', also keine Stützkonstruktion.
Sind sie gleich, selbst wenn man meint, eine Ladung durch kugelig angeordnete Gegenladungen zu stabilisieren, fliegen die äußeren davon.
Wie sollen sie sich denn stabilisieren?

Falls 'statische Ladungsverteilung' so gemeint sein sollte:
Der Fall einer Hohlkugel mit der Ladung Q und einer mittigen Ladung q wird auch nicht gehen, da wir ja gelernt haben, dass im Inneren der Hohlkugel kein Feld ist. q wird also auch hier nicht stabilisiert.

[totti]

Danke beide

evB was ist mit Grafik nr 3, meinste das hier ist Labil-Gleichgewicht?

[evB]

Gehören die restlichen Ladungen zum Gleichgewicht mit dazu? Also müssen die auch alle statisch sein? Denn dann wäre die Aufgabe ja ungefähr so zu verstehen:
"Zeigen Sie, dass eine beliebige, nicht-triviale Ansammlung von Punktladungen nicht stabil ist."

x=0 und x=2 hatte ich einfach so als Koordinaten für die beiden Ladungen benutzt, davon ausgehend, dass diese sich nicht bewegen können, sondern nur q sich bewegen kann. Wenn sich die ganzen anderen Ladungen auch bewegen können, wird es schwerer.

3D Modell mit vier Punkten, es scheint eine Insel in der Mitte zu geben:



Und hier mal als Versuch das Vektorfeld im Inneren des Tetraeders. Wirklich viel erkennen kann man jedoch nicht



Da Q ja wieder in die Mitte gestoßen wird, wenn es sich leicht aus der Mitte heraus bewegt, müsste doch hier bei dem Türkis-Violetten Bild eben auch ein stabiles Gleichgewicht sein, oder? Nur würden dann die vier Ladungen von der Mitte flüchten, denke ich mal. Oder kann die Ladung in der Mitte die vielleicht aufhalten?

[isi1]

Dass zwischen beliebig fest angeordneten Ladungen die Divergenz von E gleich Null ist, also ∇²φ=0, da sind wir uns doch einig, oder?
Die einzigen Quellen sind die Punktladungen.

Jetzt müssen wir nur das mathematische Maximumprinzip beweisen.
Und das wird sich doch in einem Lehrbuch finden?
Vielleicht hier?
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung449/

[totti]

also isi1 , ich denke mir also ohne Math. kann man auch diese Aufgabe lösen (also auf jeden fall lieber mit) aber die 3 Grafen die evB gemacht hat, mit erklärung von mir , warum und wie... reicht , od.?