Physik Forum

[ConsumingFire]

Hallo,

ich habe ein Problem, an dem ich mir wies scheint die Zähne ausbeiße.

Und zwar möchte ich für ein Fahrzeugs, das sich in einer kreisförmigen Bahn befindet, in Abhängigkeit der Zeit und des Kamm'schen Kreises eine Formel zur Beschreibung der Geschwindigkeit finden. Der Radius der Bahn ist konstant und das Fahrzeug beschleunigt von der Anfangsgeschwindigkeit v0 auf die für die Bahnkurve maximal mögliche Geschwindigkeit, wobei die Beschleunigung, wie schon gesagt, in Abhängigkeit vom Kamm'schen Kreis steht.

Wie man die für eine kreisförmige Kurve maximal mögliche Geschwindigkeit berechnet weiß ich bereits.

Mein bisheriger Ansatz für die Geschwindigkeit sieht folgendermaßen aus:

Über den Kamm'schen Kreis lässt sich die maximal aufbringbare Tangentialbeschleunigung berechnen:

at=sqr(anmax^2-an^2)

wobei at die Tangentialbeschleunigung, anmax die Maximale Zentripetalbeschleunigung (und damit auch der Radius des Kamm'schen Kreises) und an die momentan Zentripetalbeschleunigung sind.

Das Ganze kann ich dann auch anders ausdrücken:

at=sqr(mü*g-v^2/r)

wobei mü der Haftreibungskoeffizient, g die Erdbeschleunigung, v die Momentangeschwindigkeit und r der Kurvenradius sind.

Die dadurch ausgedrückte Tangentialbeschleunigung setze ich dann in

v=v0+at*t

ein wodurch ich

v=v0 + t*sqr((mü*g)^2-(v^2/r)^2)

erhalte. Das Problem dabei ist dann aber, dass ich dann das v links und rechts stehen habe und nur schwer explizit darstellen kann.

Stimmt mein Ansatz an sich? Und wenn ja, wie kann ich das v daraus berechnen? Oder ist mein Ansatz gänzlich verkehrt? Wie sollte ich dann an das Problem herangehen?

Ich wär über jede Hilfe echt dankbar.

[evB]

Also der Ansatz wirkt eigentlich gut ...

Die letzte Formel müsste sich doch umstellen lassen, mein Maple spinnt gerade ein klein wenig, ich versuche das später mal.

[ConsumingFire]

[evB]

Ähm, also Maple schreibt da etwas, was ich nicht deuten kann:



Ich überprüfe mal den Ansatz per Hand, dauert aber wohl was ...

[evB]

Also Maple kann das zwar immer noch nicht umstellen, aber einen Graphen basteln geht schon:



Also scheint so, dass man am Anfang schnell beschleunigen kann, und sich dann eine Grenzgeschwindigkeit einstellt.


Wenn man ein wenig hilft, dann bekomme ich folgende vier Lösungen raus:




Als Plot:

Diese beiden hier sind wohl einmal Beschleunigung und Verzögerung oder dass das Auto anders herum durch den Kreis fährt:



Diese hier sind dann wohl komplexe Lösungen und nicht relevant

[ConsumingFire]

Hallo evB,

du hast dir da ja echt schon ne Menge Arbeit angetan, so weit schon mal ein großes Danke!

Der geplottete Graph sieht eigentlich ganz so aus, wie ich ihn erwarten würde, auch der erreichte Grenzwert der Geschwindigkeit passt zu dem für die angenommenen Werte zu erwartenden Ergebnis.

Ich hab dabei aber leider noch zwei Probleme: zum einen kann ich die vier Lösungen nicht ganz nachvollziehen, denn wenn ich die Gleichung in Maxima eingebe kommen mir vier etwas andere Ergebnisse heraus, wobei das Vorzeichen vor dem Bruch und nach der ersten Wurzel variiert: v=sqrt(-r*sqrt(4*k*t^4+r^2)-r^2)/(sqrt(2)*t)

Zum anderen hast du für die Anfangsgeschwindigkeit 0 angenommen, was zwar die Rechnung vereinfacht, aber leider nicht dem allgemeinen Fall entspricht den ich beschreiben möchte. Ich fürchte ich kann nicht im Nachhinein die Anfangsgeschwindigkeit quasi einfach dazu zählen oder? Das heißt, ich müsste die Gleichung wieder nach v auflösen und dabei die Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen Wobei ich hier dann, wie schon erwähnt, ja die Geschwindigkeit zur vierten, zweiten und ersten Potenz habe und eben hier steh ich vor der nächsten Frage, und zwar, ist eine solche Gleichung in reellen Zahlen überhaupt lösbar? Weil Maxima bringt das in diesem Fall offenbar nicht fertig und über ein anderes Programm verfüge ich leider nicht.

[evB]

Also, da Maple da RootOf schreibt, und nach einer kurzen Recherche klar ist, dass das ein algebraisch unlösbares Teil ist (Polynom 4. Grades), heißt das:

Das Problem ist algebraisch nicht lösbar.

Von daher muss man da numerisch rangehen und es für alle Werte neu numerisch lösen.

Du kannst nur das hier benutzen, und die Werte einsetzen:



_Z steht laut Maple Hilfe für die Größe, für die das Polynom 0 sein soll. Also aus x^2 = 0 würde Maple neutraler einfach RootOf(_Z^2) schreiben.

Ich glaube aber, dass wenn man eine Anfangsgeschwindigkeit annimmt, man einfach nur bei t > 0 auf dem Graphen von vorher anfangen müsste. Die mögliche Beschleunigung ist ja eigentlich nur abhängig von der aktuellen Geschwindigkeit. Von daher ...

Wenn man mal mu und g einsetzt, geht es etwas besser, ich versuche das mal.

…

Gut, das klappt auch nicht:



Mit eingesetztem r auch nicht:




Ich habe jetzt einfach mal die Gleichung nur mit v, v_0 und t in ein 3D System eingepackt:




Hier noch ein Video des Graphen bei ImageShack (steht aber auf dem Kopf) und YouTube.

Also einfach ist das nicht …

[isi1]

Darf ich noch was anfügen?

1. das vo muss m.E. nicht unbedingt von Anfang an mitgeschleift werden, da man bei der Lösung v = Fkt(t) ja nur an dem Punkt v=vo anfangen muss.

2. die Gleichung x³ + rx² + sx + t = 0 lässt sich schon algebraisch lösen:

[ConsumingFire]

Hallo,

evB, du hast dir ja wirklich eine Menge Arbeit angetan! Großes Dankeschön!

Gut, die Gleichung ist algebraisch also nicht lösbar.

Ich glaube aber, dass deine Vermutung zutrifft, dass ich für eine Anfangsgeschwindigkeit >0 einfach sozusagen den Graphen später anfangen lassen kann. Dazu müsste ich ja eigentlich nur t ausdrücken, meine jeweilige Anfangsgeschwindigkeit einsetzen und t berechnen. Das berechnete t kann ich dann in weiterer Folge als t0 verwenden und mir die Geschwindigkeiten für jedes t>t0 berechnen.

Damit wäre mein Problem gelöst, danke nochmal

[evB]

Hat mir Spaß gemacht, und ich habe auch noch ein paar Sachen gelernt. Und ein wenig den Umgang mit Maple geübt.