Physik Forum

[isi1]

Da ist mir eine Frage untergekommen, die ganz schön schwierig ist:

Es ist ein Würfelnetzwerk aus unendlich nach oben unten, links, rechts, hinten und vorne angefügten Würfeln. Die Kanten bestehen aus gleichen Widerständen R. Gefragt ist der Widerstand zwischen a und b.



Irgend welche Vorschläge?

[evB]

Also ich bin ja schon mit der 2D Ausführung hoffnungslos überfordert.

Aber müsste man nicht irgendwie ausrechnen könne, wie viele Möglichkeiten es mit der gleichen Länge gibt, und diese nach Kirchhoff aufaddieren können?

Also man 1 Möglichkeit mit 1R. Dann hat man deutlich mehr Strecken mit 3 Widerständen, also den Bogen oben herum, unten herum, nach vorne und nach hinten, also 4 mit 3R.

Damit wäre 1/R = 1/1 + 4/3R + ?/5R + …

Für das 2D Teil gibt es eine Lösung, bei der das Endergebnis sehr einfach ist. Der Weg dahin ist recht kurz, aber wahrscheinlich habe ich ihn gerade daher nicht verstanden …

[isi1]

[evB]

Weniger als R muss es sein, man hat ja mehr Möglichkeiten.

Ich habe gerade einfach mal das Konvergenzverhalten von n!/n ausprobiert. Also dann man man n! Wege mit n*R hat. Das konvergiert jedoch gegen 0, und das schließe ich zwar nicht komplett aus, aber ich glaube schon, dass ein konstanter Wert herauskommen sollte.

Oder vielleicht irgendein Binominalkoeffizient (n über k)?

Man könnte ja auch ein Programm schreiben, was das ganze rekursiv einfach mal "ausprobiert". Nicht Experimentalphysik sondern -informatik

Bei 4 GB RAM sollte das ja machbar sein

[evB]

Wenn ich jetzt alle Wege ablaufe, wären dann auch Kreise erlaubt? Also dass der Strom einige Extrarunden absolviert (dafür dann mehr Widerstand durchquert)?

Das würde die Programmierung natürlich deutlich vereinfachen, das ganze dann eben Rekursiv nach dem Motto:
Gehe überall in alle Richtungen von A aus und wenn du bei B angekommen bist, meldest du die Anzahl der absolvierten Kanten und hörst auf. Damit das ganze terminiert bricht man nach x Schritten das ganze ab und rechnet zusammen.

Mal schauen, auf dem Rechner hier ist ja Eclipse drauf ...

[evB]

Hmm, Eclipse möchte nicht, aber vim ist ja noch da.

Jetzt habe ich mal eine einfache Implementierung zusammengehackt, in der jedoch Kreise und merkwürdige Wege (hin, zurück, hin) auch gelten. So bekommt man deutlich mehr Möglichkeiten und die Impedanz sinkt gewaltig. Mit einer maximalen Weglänge von 9 Kanten sieht es so aus:

[GvC]

Diese Aufgabe ist doch ein uralter Hut. Lässt sich per Überlagerungssatz im Kopf rechnen. Ergebnis: Rab = R/3, sofern R der Widerstand zwischen zwei Knoten ist.

[evB]

Ja, aber warum? Kannst du das bitte mal mit Mathematik/Physik auf Gymnasium-LK Niveau erklären?

[GvC]

Eigentlich wollte ich grade ins Bett gehen.

Zur besseren Vorstellung: Stell' Dir vor, Du speist einen Strom I in Knoten a ein und entnimmst ihn am Knoten b (z.B. weil Du zwischen a und b eine Spannung angelegt hast). Nun betrachtest Du die beiden Fälle Stromeinspeisung und Stromentnahme getrennt (das macht man so beim Überlagerungssatz). Am Knoten a greifen 6 Zweige an, also teilt sich der Strom wegen der unendlichen Ausdehnung des Netztwerks und der dadurch bedingten Symmetrie in 6 gleiche Teile auf. Im Zeig a-b fließt also infolge des eingespeisten Stromes ein Strom von I/6. Am Knoten b kommt insgesamt der Strom I wieder an, und zwar wegen der Symmetrie aus jedem der angrenzenden Zweige I/6. Jetzt addierst Du die beiden Stromanteile und erhältst den Strom im Zeig a-b zu I/3. Demnach müssen zwei Drittel des Stromes irgendwie parallel zum Widerstand R fließen. Nach Stromteilerregel muss deshalb der gesamte zum Widerstand in Zweig a-b liegende Widerstand R/2 sein (doppelter Strom heißt bei gleicher Spannung Uab halber Widerstand). Wenn der Widerstand im Zweig a-b R ist, muss der gesamte parallele Widerstand R/2 sein. Die Parallelschaltung R||R/2 ist, sofern man nicht allen elektrotechnischen Grundgesetzmäßigkeiten ins Gesicht schlagen will, gerade R/3.

[evB]

Jetzt addierst Du die beiden Stromanteile und erhältst den Strom im Zeig a-b zu I/3.

Aber sind die I/6 nicht auf beiden Seiten die gleichen I/6? Warum rechnet man die zweimal an?


Alles andere erscheint doch logisch, danke für die Erklärung!

Wäre dann in der 2D-Version der Widerstand zwischen bei Punkten 1/4 R?

Und wie macht man das beim verlinkten Rösselsprung im 2D-Gitter?

[GvC]

[isi1]

Perfekt, GvC, wie Du das erklärst.

Hilf uns doch bitte auch beim Rösselsprung.

Noch eine Aufgabe hierzu bringe ich nicht raus:
Ein unendliches ebenes Widerstandsgitter aus lauter Quadraten (wie beim Rösselsprung.

Frage 2: Nur hier ist gefragt: Bestimme Rges von einem Punkt zum diagonal gegenüber liegenden.

Den Widerstand zum Nachbarpunkt verstehe ich : R/2

[Frank]

[isi1]

[Frank]