Physik Forum

[Braindead]

Hallo zusammen,
habe hier noch eine wirklich knifflige Aufgabe, die mehr sehr Probleme macht, da ich mit Differentialgleichungen nicht so vertraut bin.

Zwischen zwei Punkten P und Q auf der Erdoberfläche werde auf direktem Wege, d.h. nicht der Erdkrümmung folgend, ein Tunnel der Länge 2L=100km gegraben, in dem ein Wagen der Masse m reibungsfrei gleiten kann.
(a) Drücken Sie die Koordinate von m entlang des Tunnels durch den Winkel phi aus und stellen Sie die Bewegungsgleichung auf!
(b) Wenn m zunächst in Q ruht und dann bei t = 0 losgelassen wird, wann kommt m dann in P an? Wie hoch ist dann die maximale Geschwindigkeit des Wagens?
Wo tritt diese auf?



Hinweis: L ist sehr klein im Vergleich zum Erdradius R, so
dass zur Beschreibung des Problems quadratische und noch höhere Terme in phi zu vernachlässigen sind. (Also: sin phi=phi und cos phi= 1.) Da im konkreten Beispiel die maximale Tiefe des Tunnels unter der Erdoberfläche nur etwa 200m beträgt, ist auch von der Abnahme
der Gravitation im Erdinnern abzusehen. Der Erdradius beträgt im Mittel etwa 6371 km.


Bin schon soweit, dass ich die Horizontale so ausdrücken kann:

x=L-R*phi

phi im Bogenmaß


Wie kann ich jetzt weitermachen um die Bewegungsgleichung aufstellen?

[evB]

Die Aufgabe sieht sehr interessant aus!

Also die DGL wird wohl ähnlich wie beim Federschwinger aussehen.

Die Position ist wie schon von dir aufgestellt von phi abhängig, ich würde aber x = R*phi schreiben. Und zwar aus dem Grund, dass x in der Mitte der Erde 0 ist, und bei P ist es -L und bei Q ist es +L. Man könnte die DGL natürlich auch anders machen, aber so spare ich mir diesen additiven Term. Ich hoffe, das ist in Ordnung.

Dann brauchen wir noch etwas, was sich als Ableitung von x ausdrücken lässt, die Kraft zum Beispiel.

Die Kraft, die entlang des Rohres läuft, ist abhängig von phi, und zwar ist das die normale Schwerkraft mal sin(phi), also direkt *phi, durch die Näherung.



Also das ist die normale Schwerkraftsformel multipliziert mit phi. Das Minus kommt daher, dass wenn phi positiv ist, also die Masse auf der rechten Seite ist, die Kraft nach links, also in den negativen Quadranten wirkt.

Jetzt würde ich eine DGL aufstellen, dabei dann phi eliminieren, in dem ich die eine Gleichung nach phi umstelle und einsetze:



Man kann m kürzen und R zusammenschreiben:

x'' = - gamma m_e/R^3 * x

Hier kann man dann wieder den Sinusansatz benutzen, wie beim Federschwinger auch.



Zweimal ableiten:



Setzt man das ein:



An dieser Stelle werde ich den sin(omega*t) einfach kürzen, im anderen Thread steht, warum man das als Physiker machen darf, ohne vom Mathematiker eins auf den Deckel zu bekommen. L und das Minus kann auch weg.

omega^2 = gamma m_e/R^3

Also ist omega einfach:



Gamma ist 6,67e-11 Nm^2/kg^2. Erdmasse ist 5,9742e24 kg. Radius ist 6,371e6 m.

Somit ist omega (die Kreisfrequenz) 0,00124 1/s. Das sind also 197,6 nHz, eine Reise von P nach Q und wieder nach P dauert also 5062 Sekunden, ein Weg 2531 Sekunden (42 Minuten).

Jetzt kann man in die Gleichung einsetzen (also Omega und L):






Um an die Geschwindigkeit zu kommen, bildest du einfach die Ableitung:




Jedoch ist t=0 beim Punkt Q, wodurch meine Formeln nicht mehr so ganz passen. Man muss es dann letztendlich mit dem Cosinus machen, aber das ist ja nur ein verschobener Sinus und damit tut das dem ganzen hier nicht weiter weh. Diese Formeln geben dir die Position im Vergleich zum Mittelpunkt (m ist also zwischen L und -L), Geschwindigkeit und Beschleunigung an:







Jetzt brauchst du eigentlich nur noch einsetzen, die Masse wird sich wohl nach 2531/2 Sekunden genau in der Mitte befinden.

[Braindead]

hallo,
danke für diese Antowort hat mir schon gut geholfen =).

Wie du zu den letzten Formel kommst habe ich glaube ih verstanden, jedoch nicht, wie du dann auf die Zeit kommst.

Kannst du mir das nochmal vorrechen? Vielleicht habe ich meinen Taschenrechner auch iwie falsch eingestellt was Winkel angeht.

[evB]

Was für einen Taschenrechner hast du? Den Casio fx-85MS oder einen ähnlichen?

Ich hatte die DGL (die mit x(t) und x''(t)) aufgestellt und dann meinen Ansatz eingesetzt, also einmal x(t)=… und x''(t)=…. Darauf hin stand in der Gleichung kein phi mehr, auch das L hat sich weggekürzt. Neben den Naturkonstanten blieb dann nur noch das omega übrig. Omega ist eine Kreisfrequenz, also letztlich eine Geschwindigkeit für sich drehende oder schwingende Dinge. Somit gibt das omega hier die Geschwindigkeit in radians (Einheit des Bogenmaßes, eigentlich einheitenlos) pro Sekunde an. Bei einer vollen "Drehung" um 2π (= 360°) ist man wieder am Ursprungszustand. Also muss es eine Zeit t geben, für die omega*t = 2π ist. Also nach der Zeit ist der Gesamtwinkel (omega*t) voll auf 2π. Aus er DGL fällt folgende formel für omega (das merkwürdige "w") ab:



Dort setzt man die Naturkonstanten ein:
Gamma ist 6,67e-11 Nm^2/kg^2. Erdmasse ist 5,9742e24 kg. Radius ist 6,371e6 m.

Somit ist omega (die Kreisfrequenz) 0,00124 1/s. Jetzt kann man ein t so bestimmen, dass omega*t = 2π ist. Dazu teilt man einfach 2π durch omega und erhält t. t ist die Zeit, die die Rohrpost für einen Rundlauf zurück in den Anfangszustand, also von Q nach P und wieder zurück nach Q braucht. Ich habe da 5062 Sekunden heraus. Die Hälfte davon ist 2531 Sekunden (42 Minuten) für eine Strecke (Q nach P).

[Braindead]

okay das ist soweit klar

Für die maximale Geschwindigkeit muss ich doch nach dem Hochpunkt in der Geschwindigkeitsfunktion suchen, also die Beschleunigungsgleichung gleich Null setzen und nach t auflösen richtig?

[Hausmann]

[evB]

Einfach in die Geschwindigkeitsfunktion für t die Hälte der Zeit einsetzen.

[Braindead]

Naja es ist nach der maximalen Geschwindigkeit gefragt. Der Wagen wird ja auch wieder langsamer
Mit der Häfte der Zeit meinst du also, den Punkt bei pi/2, genau auf der Häfte der Strecke?

[evB]

Das ist wie ein normales Fadenpendel, links uns rechts steht es, hat aber potenzielle Energie, in der Mitte ist es am schnellsten.

@Hausmann: Geht sicher auch, jedoch müsste man irgendwie die Energie ausdrücken, und das ist nicht ganz so einfach, fürchte ich.

[Hausmann]

[;v_{max}=2 \sqrt{gR}\cdot sin{\frac{\varphi}{2}};]