Physik Forum

[PhyLabNutzer]

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Ich möchte die Auflösung eines Elektronenmikroskops bestimmen. Gegeben sind mir der Öffnungshalbwinkel alpha=0,3° und die Beschleunigungsspannung von 10kV.

Die Auflösung wollte ich mit der Formel Wellenlänge / (sin(alpha)) berechnen.
Da mir die Wellenlänge nicht bekannt ist, jedoch die Bechleunigungsspannung, sah ich im Internet nach und fand eine Lösungsmethode: Mit der Gleichung von de-Broglie wollte ich nun die Wellenlänge bestimmen:
Nach de-Broglie ist die Wellenlänge das Plancksche Wirkungsquantum geteilt durch die Wurzel aus 2 * Ruhemasse * Elementarladung * Spannung.

Da ich die Konstanten nicht kannte, schlug ich sie nach:
Plancksches Wirkungsquantum (h)=4,1357*10^(-15)eVs
Ruhemasse (m)=9,109*10^(-31)kg
Elementarladung (e)=1,602*10^(-19)C (oder As)

Ich habe verwirrt hin- und hergerechnet und stieg irgendwann selbst nicht mehr durch meine Rechnungen durch. Eigentlich wollte ich nur die Wellenlänge ausrechnen, damit ich sie anschließend in die Formel oben einsetzen kann. Und dann wiederum wollte ich die Aufgabe erledigt wissen.

Es funktioniert aber nicht .

Ich gehe deswegen davon aus, dass ich bis hier bereits einen Fehler gemacht habe (eine Formel nicht nehmen darf, falsche Konstanten herausgesucht oder ähnliches).

Es wäre so klasse, könntet ihr euch das mal angucken.

Hier meine weiterführende Rechnung:
Wellenlänge=[4,1357*10^(-15)eVs] / [2*(9,109*10^(-31)kg)*(1,602*10^(-19)As)*10kV]

Als Ergebnis habe ich 242*10^7.
Zum einen passt es von den Einheiten und dem Ausmaß der Zahlengröße nicht, zum anderen ist der Zahlenwert selbst falsch (es müsste etwas mit 2,34 da stehen)...

[evB]

Wenn du die Elementarladung in C nimmst, darfst du h nicht in eV sondern in J nehmen, damit das mit den Einheiten her passt.

h = 6,626e-35 Js

[PhyLabNutzer]

Hmm...Ich habe nun 6,626*10^(-35) für h eingesetzt und erhalte: 2,27 für die Wellenlänge.

Wenn ich es durch sin(alpha) teile, erhalte ich 7,68. Stimmt immer noch nicht .

[evB]

Entschuldigung, ich hatte mich vertippt. Es ist -34 und nicht -35 bei h.


Bei 10 kV bekommt ein Elektron 10keV Energie.

Das sind umgerechnet 1,61e-15 J. Aus dieser kinetischen Energie kann man dann die Geschwindigkeit umrechnen:

E = 1/2 m v^2

v = √(2E/m) -> 5,95e7 m/s

Jetzt würde man den Impuls ausrechnen, aber wie man sehen kann, sind wir schon über 10% der Lichtgeschwindigkeit, von daher müsste man das jetzt relativistisch rechnen.



Das sind dann also 5,86e7 m/s, also noch keine derart fette Abweichung.


Dann rechnet man den Impuls p aus, (m*v):
5,86e7 m/s * 9,1e-31 kg = 5,33e-23 kg*m/s

Jetzt rechnet man h/p für de Broglie:

1,24e-11 m.

Alpha = 0,3° -> 5,24e-3 rad
sin(alpha) = 5,24e-3

1,24e-11 m / 5,24e-3 = 2,37e-9

Antwort: 2,37 Nanometer

[PhyLabNutzer]

Wow, vielen Dank für die ausführliche Antwort ! Werde sie mir morgen detailliert zu Gemüte führen (heute Abend wird das leider nichts mehr, muss erst einmal meinen Schreibtisch leeren).

[evB]

Also ich habe die ganze Zeit mit Meter als Längeneinheit gerechnet. Damit bekomme ich die 2,37 * 10^-9 Meter heraus. Jetzt kann man, genauso wie man 1 Meter in 100 Zentimeter oder 1000 Millimeter umrechnen auch 10^-9 Meter in 1 Nanometer umwandeln. Das dient eigentlich nur der Lesbarkeit. Man kann es aber auch ruhig in 10^-9 Metern lassen.

In der Lösung steht hoffentlich 2,34*10^-9 m und nicht 2,34*10^-9 nm. Denn letzteres ist auch 2,34*10^-18 m und die Auflösung ist weit unter Atomniveau. Und diese Genauigkeit haben wir einfach nicht.

Die Abweichung wird durch Rundungsfehler zustande kommen, außerdem habe ich den Impuls wieder klassisch und nicht relativistisch ausgerechnet. Da wir aber nur einen kleinen Anteil (~10%) der Lichtgeschwindigkeit haben, ist die Abweichung nicht so schlimm. Genau genommen (also relativistisch) müsste man noch beim Impuls einbeziehen, dass das Elektron durch die hinzugefügte Energie ein wenig schwerer geworden ist und dadurch die Wellenlänge ein klein wenig kürzer wird.

Eine Abweichung von 1 zu 10^-9 ist jedoch enorm, die Größenordnung sollte auf jeden Fall stimmen.

[PhyLabNutzer]

Ah okay. Danke!

Die Lösung hatte ich mir selbst schnell notiert als diese in der Vorlesung bekannt gegeben wurden. Es kann hier durchaus zu falschen Werten gekommen sein (obwohl ich immer versuche, meine verstandenen Ergebnisse mit denen der anderen zu vergleichen).

Deine berechneten Größenordnungen klingen glaubwürdiger!

Vielen Dank für die Mühe!

[PhyLabNutzer]

[evB]

Es hätte mich auch echt gewundert, die wissenschaftliche Notation nimmt man normalerweise nur mit Grundeinheiten.