Physik Forum

[SheldonCooper]

Wir sind in der Oberstufe(Q1) gerade mit Experimenten zum Thema "Schwingungen" beschäftigt.
Die Aufgaben unserer Gruppe waren, mittels eines Versuchs, bei dem wir eine Fahrradspeiche mit einer Tischklemme an der Tischkante befestigt haben und am anderen, frei liegenden Ende einen Stabmagneten befestigt haben, diesen in eine Spule hinein und heraus schwingen zu lassen. Die Spule ist dabei mit einem Oszilloskop verbunden gewesen.
Nun haben wir schon festgestellt, dass die Periodendauer T nicht von der Amplitude abhängt und dass die Periodendauer T bei vergrößerter frei liegender Speichenlänge l ansteigt. Hier haben wir uns mittels einem Computer-Algebra-Systems eine lineare Regression anzeigen lassen, die eine Proportionalität nicht von der Hand weisen lässt.
Meine Frage ist jetzt lediglich, in welchem genauen Zusammenhang die Speichenlänge zur Periodendauer steht, da dieser Zusammenhang für eine Messfehlerauswertung von Nöten ist.

Danke schon im Voraus vielmals,
Sheldon

[Fritz]

Es handelt sich hier um einen Biegeschwinger, die wikipedia gibt weitere Auskunft. Aber leider nicht über die Schwingfrequenz.

Das läuft letztendlich auf eine partielle Differentialgleichung hinaus. Die sollte sich mit einem Ansatz aber geschickt lösen lassen, was die Sache etwas schwieriger macht, ist dass der Magnet am Ende auch eine Masse hat.

Hattet ihr schon Differentialgleichungen?

mfg Fritz

[Hausmann]

Für ein lineares, einseitig eingespanntes Medium mit Schwingungsbauch am anderen Ende findet man als Grundschwingung [;f=\frac{c}{4L};]

[isi1]

Das wäre die Formel für Orgelpfeifen. Gilt auch bei Fahrradspeichen für Longitudinalschwingungen (Schallwellen) mit c = √(E/ρ) = √( 200kN/mm² / 7,8 g/cm³) ≈ 5km/s, also bei 30cm etwa 4 kHz.

SheldonCooper meint wahrscheinlich die Transversalschwingung (Biegeschwingung).

Die Aufgabe läuft unter 'Massebehaftete Feder:

f = 1/(2pi) * √(3 D / m) ... mit der Federkonstante D = Kraft / Auslenkung

Für die Speiche:
Flächenträgheitsmoment: I = pi/4 * r^4 = 0,5mm^4
Federkonstante: D = 3 E I / l³ = 3*200kN/mm² * 0,5mm^4 / (0,3m)³ = 11 N/m
Masse: m = l ρ d²pi/4 = 0,3m*7,8 g/cm³*2,5mm² ≈ 6 g

Frequenz f = 1/(2pi) * √(3 D / m) = 1/(2pi) * √(3 * 11 N/m / 6g) = 7 Hz
Edit isi: da war ein Rechenfehler

[Fritz]

[isi1]

[Fritz]

373Hz kommt mir gefühlsmäßig zu hoch vor. Ich würde da eher an Schwingungen im Hz-Bereich denken.

Das Problem ist, dass in deiner Berechnung die Masse der Speiche als in einem Punkt konzentriert angenommen wird. Das ist sie aber nicht.

Wäre die Masse am Ende viel schwerer als die Speiche selbst, so wäre diese Berechnung näherungsweise gültig.

Die Masse, ebenso wie die Federkonstante, ist über die Speiche verteilt. Es handelt sich deshalb nicht mehr um eine einfache Schwingung sondern man erhält eine Wellengleichung (PDGL)

Wenn man sich aber nur für die stehende Welle im Grundmodus interessiert, kann man dafür einen geeigneten Ansatz wählen und damit die Frequenz der Grundschwingung ausrechnen.

Ich sehe schon es wird mir nicht erspart bleiben das auszurechnen.

mfg Fritz

[isi1]

[Fritz]

[quote]...Theorie der Feder mit gleichmäßig verteilter Masse.../quote]Das ist mir neu, aber gut wenns funktioniert. Das ändert aber noch immer nichts daran, dass eben am Ende auch noch eine Masse dranhängt, die wohl nicht so einfach vernachlässigt werden darf.

Ich habe jetzt die Frequenz der Grundschwingung mit dem Lagrange-Formalismus und einer Ansatzfunktion berechnet, ob das aber zum Verständnis für jedermann beiträgt wage ich zu bezweifeln:

http://www.cshare.de/get/d/7bbb444fb40f5c6e60cc835adc1b1bbc/b844985a503356a60c7a04393184846f/1298238806/dd97be8d6519c43c15fb41e483659922/biegeschwinger.html

Zunächst wird die kinetische und potentielle Energie berechnet, dann in die Lagrange-Gleichung eingesetzt und die DGL gelöst. Dann wird das Ergebnis noch so umgewurschtet, dass am Ende die Kreisfrequenz da steht.

Ganz unten ist das Ergebnis nochmal vereinfacht, wenn die Masse wegfällt, die Frequenz ist jedenfalls proportional zu 1/l^2, das haben unsere Lösungen schon mal gemeinsam und kommt mir auch irgendwie bekannt vor.

Ist die Masse aber dabei ist die Sache nicht mehr ganz so einfach.

mfg Fritz

[Hausmann]

Ich habe hier eine, mir unverständliche, Notiz zum einseitig eingespannten kreiszylindrischen Stab [;f=\frac{dz^2}{8\pi L^2}\sqrt{\frac{E}{\rho}};]; Grundschwingung z = 1,875

[isi1]

@Fritz: Würde ich sehr gerne nachvollziehen, leider kommt bei mir nur
"...Ihr Download wird gestartet... " - und dann passiert nichts mehr.
Welche Frequenz hast Du errechnet?

[Fritz]

[Fritz]

So ich hab meine Berechnung jetzt noch ein wenig kommentiert, verschönert und Zahlen eingesetzt:
http://www.cshare.de/get/d/2ef773ef54846b43dd116e48802ffe22/a3d6d9d1864b930eb0c9727acc7de1bd/1298391891/938ce19b9adb45e625a833577f4e19e6/Biegeschwinger.zip?queue

Ich habe versucht möglichst die gleichen wie von isi1 vorgeschlagenen Werte zu wählen.

Vielleicht wäre es günstig wenn wir uns auf gemeinsame Größen (und Werte) einigen würden, die einzusetzen sind, ich schlage vor:

ρ=7900kg/m³...Werkstoffdichte der Speiche
d=1.8mm...Speichendurchmesser
l=0.3m...Speichenlänge
E=200GPa...E-Modul
M=2g...Endmasse

Für den freien Biegeschwinger (ohne Masse am Ende) komme ich auf:
f=14.67Hz

Das passt ganz gut mit dem Ergebnis aus Hausmann's Formel zusammen.

Für den Biegeschwinger mit Endmasse bekomme ich:
f_=9.35Hz

Kann es sein, dass du irgendwo einen Faktor von 2 in deiner Berechnung übersehen hast, isi1?

mfg Fritz

[isi1]