Physik Forum

[fisch15]

Hallo,

ich hab mal eine ganz allgemeine Frage zum Physik Studium. Ich hab in Innsbruck, Österreich 1 Semester Physik studiert. Das Studium an sich hat mir sehr gut gefallen, aber der Aufbau nicht. Deswegen wollte ich wissen, ob das Physik Studium in Deutschland ähnlich aufgebaut ist, oder ganz anders:

Also in Ibk wars so, dass wir an 3 Tagen in der Woche in 3 verschiedenen Kursen sogenannte Proseminare hatten. Dies heist, wir bekamen ein Aufgabenblatt mit Rechnungen eine Woche zuvor und mussten so viele Aufgaben wie möglich lösen. Im Proseminar dann musste man am Anfang der Stunde die Aufgaben ankreuzen die man geschafft hatte und somit vor dem Kurs an der Tafel vorrechnen konnte. Man musste mindestens 50% der Aufgaben ankreuzen um den Kurs überhaupt zu bestehen.
Dies war der pure Stress, da die Aufgaben nicht wirklich leicht waren und ich wirklich sehr viel Zeit jede Woche alleine in die Vorbereitung der Proseminare stecken musste.
Dazu kommt dann noch die Angst bei einer Aufgabe aufgerufen zu werden, die man nicht perfekt vorrechnen konnte. Dies gab dann wiederrum eine schlechte Bewertung.
Weiterhin hatten wir bereits nach 4 Wochen unsere erste Prüfung in allen Proseminaren. Und in diesen Prüfungen mussten wir wieder mindestens 50% bestehen um überhaupt für die Semesterprüfung zugelassen zu werden.

Ich hab jetzt mit anderen Studenten in Deutschland gesprochen und die meinten ihr Studium wär doch da ganz anders.
Versteht micht bitte nicht falsch, ich bin keine faule Sau, aber so ein bisschen Freizeit hätte ich mir dann doch erhofft. Also meinen Informanten nach mussten sie in Deutschland 8 Wochen vor den Prüfungen richtig lernen, konnten aber so ziemlich den Rest des Semesters nicht so wirklich viel lernen! Ich will das auch...


Da ich leider keine Physikstudenten aus Deutschland kenne bitte ich um eure Hilfe!
Vielen Dank schon im Vorraus!

Liebe Grüße, Fisch15

[Tessa2]

[Fritz]

Hallo

Ich studiere in Linz, zwar nicht Physik aber Mechatronik und kann die Erfahrungen von fisch15 bestätigen. Vor allem in den ersten paar Semestern muss man in den Übungen schon aktiv arbeiten. Dann werden die Übungen etwas weniger und die Sache entspannt sich etwas, dafür wird der Stoff schwieriger.

Ich sehe das aber durchaus positiv, nur so lernt man die Sache richtig. Wenn man einfach nur für die Klausur lernt hat man es nicht richtig verstanden und vergisst nachher den Großteil schnell wieder. Das ist nicht der Sinn eines Studiums.

Ich weiß jetzt nicht wie es bei den Physikern in Linz so ist, aber ich glaube nicht viel anders.

Wenn einem diese Art des studierens zu stressig wird (und das kann leicht passieren) so empfehle ich die Sache einfach langsamer anzugehen und weniger LVA's pro Semester zu wählen, und die dafür richtig machen. Dann schaft man das Studium zwar nicht in Mindestzeit, dafür kann man behaupten wirklich etwas gelernt zu haben und zwar auf Dauer.

Das Mechatronikstudium in Linz wurde vor kurzem auf Bachelor/Master System umgestellt, man ist dann BSc bzw. MSc, man darf sich aber nach wie vor auch Diplomingenieur nennen. (Wie es bei den Physikern ist weiß ich nicht)

mfg Fritz

[isi1]

Könntest Du bitte mal die Aufgaben hier rein stellen, fisch15?

[fisch15]

PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
Informationen zur Lehrveranstaltung Mathematik-Gruppen

Ablauf
Das Übungsblatt zur jeweiligen Proseminareinheit wird eine Woche im Voraus im eCampus
(OLAT, lms.uibk.ac.at) online gestellt. Die gelösten Aufgaben sind in einer Liste zu Beginn
des Proseminars anzugeben. Anschlieÿend werden die Aufgaben von Studierenden an der Tafel
vorgetragen und diskutiert. Es nden drei Klausuren statt:
1. Klausur: Montag, 8.11.10, in der zweiten Hälfte des Proseminars
2. Klausur: Samstag, 11.12.10, 9.30  11.30 Uhr, HSB 3
3. Klausur: Freitag, 11.02.11, 13.00  15.00 Uhr, HSB 3
Beurteilung

Die Beurteilung erfolgt aufgrund der bei den Klausuren erreichten Punkte, der Leistung an der
Tafel und der Anzahl der gelösten Aufgaben. Zum positiven Absolvieren der Lehrveranstaltung
sind mindestens die Hälfte der Punkte bei den Klausuren, dreimaliges Vorrechnen an der Tafel,
sowie das Lösen von 40% der Aufgaben notwendig.

Wiederholungsklausur
Für jene Studierenden, die in Summe bei den Klausuren nicht genügend Punkte erreichen konnten,
ndet Ende des Semesters eine Wiederholungsklausur statt. Nähere Informationen werden
Ende Jänner bekannt gegeben.
PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
1. Übungsblatt 11. Oktober 2010
Aussagenlogik
(1) Seien a und b zwei Aussagen. Zeigen Sie die folgenden logischen Äquivalenzen durch Bestimmung
der Wahrheitswerte der Aussagen in Form einer Wahrheitstabelle.
(a) :(a ^ b) () :a _ : b
(b) :(a _ b) () :a ^ : b
(c) (a ) b) () :a _ b () :(a ^ : b)
(d) (a ) b) () (:b ) :a)
(2) Bilden Sie die Verneinung der Aussage
(a ^ b) ) (a ) :b):
Lässt sich die Aussage vereinfachen?
Mengenoperationen
Schreibweisen:
8: für alle
9: es existiert
Beispiele:
8x 2 R: x2  0
Lies: Für alle x in R gilt x2  0:
9x 2 R : x2 = 4
Lies: Es existiert ein x in R mit x2 = 4.
Zur Gleichheit von Mengen: Seien A und B beliebige Mengen. Dann gilt nach Denition:
A = B () (A  B) ^ (B  A)
Weiters ist
A  B () 8 x 2 A : x 2 B:
Somit gilt:
A = B () (8 x 2 A : x 2 B) ^ (8 x 2 B : x 2 A)
Zwei Mengen sind also genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
(3) Sei X eine Menge und A;B  X. Zeigen Sie:
(a) X n (A [ B) = (X n A) \ (X n B)
(b) X n (A \ B) = (X n A) [ (X n B)
(c) A \ B = B n (B n A)
Fertigen Sie jeweils Skizzen (Mengendiagramme/Venn Diagramme) an.
(4) Es sei X eine Menge. Sei Ai  X für i 2 I und i eine beliebige Indexmenge. Dann ist
[
i2I
Ai := fx 2 X: 9i 2 I : x 2 Aig bzw.
\
i2I
Ai := fx 2 X: 8i 2 I : x 2 Aig
die Vereinigung bzw. der Durchschnitt der Mengen Ai.
Zeigen Sie die De Morgan'schen Regeln für eine beliebige Indexmenge, nämlich dass
X n

[
i2I
Ai
!
=
\
i2I
(X n Ai) und X n

\
i2I
Ai
!
=
[
i2I
(X n Ai)
gilt.
Induktionsbeweise
(5) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion über n:
(a)
Xn
i=1
i =
n(n + 1)
2
(b)
Xn
i=1
i3 =
n2(n + 1)2
4
(c) Sei q 2 R n f1g. Dann gilt:
Xn
i=0
qi =
qn+1 􀀀 1
q 􀀀 1
Was ergibt sich für q = 1?
(6) (a) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion über n, dass für n  3 die Ungleichung
2n + 1  2n
gilt.
(b) Für welche n 2 N ist
n2  2n
erfüllt? Beweisen Sie Ihre Vermutung mittels vollständiger Induktion über n 2 N.





PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
2. Übungsblatt - Mathematik 18. Oktober 2010
(1) Sei x 2 R. Bestimmen Sie Denitions- und Lösungsmenge folgender Gleichungen:
(a) x2 + 1 = j3x 􀀀 1j (b)
1
x + 1
+
1
x 􀀀 1
=
1
4x3 􀀀 4x
(c)
8
x 􀀀 1
= j4 + 2xj
(2) Sei x 2 R. Bestimmen Sie Denitions- und Lösungsmenge folgender Gleichungen:
(a)
p
6 + x =
p
10 􀀀 4x 􀀀
p
x (b)
p
x 􀀀 1 􀀀
p
x + 1 =
p
x2 + x 􀀀 2
(3) Berechnen Sie
Xn
i=1
Xn
j=i
i2
j
:
Hinweis: Vertauschung der Summationsreihenfolge
(4) Berechnen Sie
Xn
i=0
Xn
j=0
ji 􀀀 jj :
Hinweis: Auösen des Betrages durch das Aufteilen auf zwei Summen
(5) Sei x 2 R. Bestimmen Sie Denitions- und Lösungsmenge folgender Ungleichungen:
(a) jx2 􀀀 2x 􀀀 3j > 1 (b)
p
3x 􀀀 2  􀀀1 (c)
8
x 􀀀 1
 j4 + 2xj
(6) Sei x 2 R. Bestimmen Sie für a 2 R Denitions- und Lösungsmenge der Gleichung
(a2 􀀀 1)x2 􀀀 ax 􀀀 1 = 0:
Bemerkung: Es könnte eventuell hilfreich sein, zuvor folgende Gleichungen zu betrachten:
(a) ax = 1
(b) ax2 = 1
(c) (a2 􀀀 1)x2 = 1
Zur Wiederholung:
(7) Verallgemeinerung der Bernoulli'schen Ungleichung: Für
(a) x1; : : : ; xn  0
(b) x1; : : : ; xn 2 (􀀀1; 0]
zeigen Sie, dass für alle n  1 die Ungleichung
Yn
k=1
(1 + xk)  1 +
Xn
k=1
xk
gilt.
(8) Zeigen Sie: Für beliebige Familien von Mengen (Ai)i2I und (Bj)j2J gilt

[
i2I
Ai
!
\
0
@
[
j2J
Bj
1
A =
[
(i;j)2IJ
(Ai \ Bj) :






PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
3. Übungsblatt - Mathematik 25. Oktober 2010
analysis-mathematik.uibk.ac.at : Aufgabensammlung zum selbstständigen Üben
(1) Sei x 2 R. Bestimmen Sie Dentions- und Lösungsmenge folgender Ungleichungen:
(a) x 􀀀 1 
p
2 + x 􀀀 x2 (b)
jx 􀀀 1j
x2 􀀀 3x + 2
< 1
(2) Sei z 2 C. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
(a) j1 + zj2 􀀀 j1 􀀀 zj2
(b) (1 + 2z)2 􀀀 (1 􀀀 2z)2
(3) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen folgender Gleichungen:
(a) z2 = 􀀀5 + 12i (b) z4 = z2 􀀀 1:
(4) Beweisen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes (Satz 1.26) für n 2 N die Multinomial-
formel
(a + b + c)n =
X
i;j;k2N
i+j+k=n
n!
i! j! k!
ai bj ck:
Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst folgende Schreibweise des binomischen Lehrsatzes:
(a + b)n =
X
i;j2N
i+j=n
n!
i! j!
ai bj
(5) Seien f : D ! B eine Abbildung, D1;D2  D und B1;B2  B. Beweisen Sie folgende
Aussagen:
(a) f(D1 [ D2) = f(D1) [ f(D2)
(b) f(D1 \ D2)  f(D1) \ f(D2)
(c) f􀀀1(B1 [ B2) = f􀀀1(B1) [ f􀀀1(B2)
(d) f􀀀1(B n B1) = D n f􀀀1(B1)
(e) f􀀀1(B1 \ B2) = f􀀀1(B1) \ f􀀀1(B2)
Bemerkung: Verwenden Sie (d) um aus (c) die Aussage (e) zu folgern. Warum kann
f(D n D1) = B n f(D1) nicht im Allgemeinen gelten?
(6) Sei M  R. Untersuchen Sie, ob die Abbildung
f : M 􀀀! R: x 7􀀀! x(x 􀀀 1)(x + 1)
auf folgenden Mengen M injektiv bzw. surjektiv ist, und bestimmen Sie jeweils sup f(M)
und inf f(M). Liegt ein Maximum bzw. Minimum vor?
(a) M = [􀀀1; 1] (b) M = (􀀀1; 1) (c) M = [0; 2]
(d) M = (0; 2) (e) M = [1; 3] (f) M = (1; 3)
Schränken Sie weiters den Bildbereich jeweils so ein, dass die Abbildung surjektiv ist.
(7) Sei f : A ! A eine Abbildung. Zeigen Sie:
f injektiv () f  f injektiv




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
4. Übungsblatt - Mathematik 8. November 2010
(1) Sei z 2 C. Bestimmen Sie Denitions- und Lösungsmenge folgender Gleichungen:
(a) jz + 1j = 2z (b) z2 = i z (c)
zz 􀀀 5z
z 􀀀 z
= 5
(2) Sei n 2 N. Berechnen Sie
Xn
i=0
Xn
j=i

j
i

:
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass
Xn
i=0

n
i

= 2n:
(3) Bestimmen Sie Supremum und Inmum folgender Mengen:
(a)

n + 2
n
: n 2 N n f0g

(b)

􀀀
1
2
n
: n 2 N

(c)

x 2 Q: 2  x2  4; x > 0

Liegt ein Minimum/Maximum vor?
Die erste Klausur ndet in der zweiten Hälfte des Proseminars statt.
Sto sind die ersten drei Übungsblätter.



PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
5. Übungsblatt - Mathematik 15. November 2010
(1) Bestimmen Sie den gröÿtmöglichen Denitionsbereich D  R der Funktion
f : D  R ! R: x 7! x +
p
1 + x2 :
Zeigen Sie, dass f injektiv ist. Bestimmen Sie weiters W = f(D) und geben Sie die Umkehrfunktion
der Abbildung ~ f : D ! W an.
(2) Bestimmen Sie den gröÿtmöglichen Denitionsbereich D  R der Funktion
f : D ! R: x 7!
r
ln(2 + x 􀀀 x2)
x 􀀀 1
:
(3) Sei  2 R. Bestimmen Sie Denitions- und Lösungsmenge der trigonometrischen Ungleichung
r
sin 
4
> sin pcos  :
(4) Geben Sie für die folgenden Funktionen f : D ! R den gröÿtmöglichen Denitionsbereich
D sowie die Wertemenge f(D) an.
(a) f : D ! R : x 7! sin(arcsin(x)).
(b) f : D ! R : x 7! arcsin(sin(x)).
Skizzieren Sie die Graphen dieser Funktionen.
(5) Zeigen Sie: Für x 2 Rnf(2 k + 1) : k 2 Zg und u = tan x
2 ist
sin x =
2 u
1 + u2 und cos x =
1 􀀀 u2
1 + u2 :
(6) Sei ! > 0. Eine Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen der Form
C1 cos(!t) + C2 sin(!t); (C1;C2) 2 R2nf(0; 0)g
kann geschrieben werden als
Acos(!t 􀀀 '):
Dabei wird mit A > 0 die Amplitude und mit ' 2 [0; 2[ die Phasenverschiebung bezeichnet.
0 ¼ 2¼ 3¼
p3 sin(x)
3 cos(x)
p3 sin(x) + 3 cos(x)
Drücken Sie C1, C2 durch A, ' und umgekehrt A, ' durch C1, C2 aus und berechnen Sie
speziell A, ' für C1 = p3, C2 = 􀀀1 und C1 = 2, C2 = 􀀀2.




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
6. Übungsblatt - Mathematik 22. November 2010
(1) Seien (an)n2N und (bn)n2N zwei konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass
lim
n!1
(an + bn) = lim
n!1
an + lim
n!1
bn:
(2) Seien (an)n2N eine Nullfolge und (bn)n2N eine beschränkte Folge. Zeigen Sie, dass die Folge
(an
bn)n2N eine Nullfolge ist. Untersuchen sie weiters die Folge (cn)n2N mit
cn =
1
n
sin n
auf Konvergenz und berechnen Sie, falls möglich, den Grenzwert.
(3) Berechnen Sie
Xn
k=0

n
k

sin kx :
Bestimmen Sie weiters für n = 5 alle x 2 [0; 2], für die dieser Ausdruck 0 wird.
Hinweis: Verwenden Sie den Binomischen Lehrsatz und die Eulersche Formel
Im
􀀀
eix

= sin x :
(4) Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (xn)n2N mit
xn =
p
n 􀀀
p
n + 1
durch Nachprüfen der Denition 3.5.
(5) Bestimmen Sie die Häufungspunkte folgender Folgen:
(a) an = (􀀀1)n+1 + cos
n
4

(b) bn =
1
n
+ (􀀀1)n
(c) cn = n
p
2n + 3n; (d) dn =
1
1 + cn ; c > 0
(6) Babylonisches Wurzelziehen: Die Folge (an)n2N sei rekursiv durch
a0 = 3; an+1 = an 􀀀
a2
n 􀀀 2
2an
deniert. Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist und nden Sie eine untere Schranke.
Schlieÿen Sie daraus die Konvergenz der Folge und bestimmen Sie den Grenzwert.




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
7. Übungsblatt - Mathematik 29. November 2010
(1) Zeigen Sie, dass die Reihe
P1
n=1 an mit
an = (􀀀1)n

2n + 1
3n + 1
n
konvergiert. Konvergiert auch
P1
n=1 janj? Geben Sie ein möglichst kleines k 2 N an, sodass
j
Pk
n=1 an 􀀀
P1
n=1 anj  10􀀀3.
(2) Berechnen Sie den Reihenwert der Reihe
1X
n=1
4n + 6
n(n + 1)(n + 3)
:
Hinweis: Partialbruchzerlegung.
(3) Es sei (an)n2N eine Folge reeller Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie:
1X
n=1
an konvergiert =)

Sk
k

k1
konvergiert;
wobei Sk =
Pk
n=1 an.
(4) Bestimmen Sie alle x 2 R, für welche die Reihe
1X
k=3
(􀀀1)kx2k
(x + 2)k
konvergiert. Berechnen Sie sodann für diese den Reihenwert.
(5) Untersuchen Sie die folgende Reihen auf Konvergenz:
(a)
1X
k=1
1
p
k
(b)
1X
k=1
2 + k2
k4
(6) Zeigen Sie: Sind f1 : R ! R; f2 : R ! R stetig, so auch g1(x) := maxff1(x); f2(x)g und
g2(x) := minff1(x); f2(x)g.




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
8. Übungsblatt - Mathematik 6. Dezember 2010
(1) Es seien f; g : R ! R stetige Abbildungen. Zeigen Sie mit Hilfe der Charakterisierung
der Stetigkeit, dass dann auch f  g stetig ist.
(2) Die stetige Funktion f : R ! R erfülle für alle x 2 R die Bedingung f (f(x))
f(x) = 1.
Weiters sei f(100) = 99. Bestimme f(10).
Hinweis: Verwenden Sie den Zwischenwertsatz.
(3) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
(a) lim
x!1
x 􀀀 1
p
x3 􀀀 1
(b) lim
x!0
tan x 􀀀 sin x
x(1 􀀀 cos x)
(4) Bestimmen Sie A;B 2 R so, dass
lim
x!5
4
p
4x 􀀀 1 + A + Bx
sin(x) + cos(x) +
p
2
existiert und berechnen Sie diesen Grenzwert.
(5) Zeigen Sie, dass die Abbildung
f : R ! R: x 7! x3 + x
eine stetige Umkehrabbildung besitzt.
(6) Sei 0 < a < b. Berechnen Sie das bestimmte Integral
Z b
a
p
x dx
durch Bestimmung des Grenzwertes der Obersummen zur geometrisch anwachsenden Zerlegung
Zn : x0 = a; x1 = aq; x2 = aq2; : : : ; xn = aqn = b:




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
9. Übungsblatt - Mathematik 13. Dezember 2010
(1) Eine Wanderin geht einen 6 km langen Weg zu einer Almhütte. Ihr Hund läuft voraus
zur Hütte hinauf, dreht dort um und läuft ihr wieder bergab entgegen. Wieder bei ihr
angekommen, dreht er wieder um usw. Der Hund läuft bergauf eineinhalbmal, bergab
doppelt so schnell wie die Wanderin geht. Welche Strecke legt der Hund zwischen der n-ten
und der (n + 1)-ten Begegnung zurück für n = 1; 2; 3; : : :? Welche Strecke hat der Hund
zurückgelegt, als die Wanderin oben ankommt?
(2) Berechnen Sie
Z 3
0

x 􀀀

x2 􀀀 1


dx:
Hinweis: Verwenden Sie die Gebietsadditivität des Integrals, d.h. zerlegen Sie das Intervall
[0; 3] geeignet.
(3) Sei f : [a; b] ! C so, dass g = Ref und h = Imf integrierbare Funktionen sind. Dann
erklärt man f für integrierbar und setzt
Z b
a
f(x) dx :=
Z b
a
g(x) dx + i
Z b
a
h(x) dx :
Zeigen Sie, dass
8 2 Cnf0g :
Z b
a
ex dx =
1


eb 􀀀 ea

; (1)
mittels Riemannsummen zur äquidistanten Zerlegung und bestimmen Sie damit
Z 
3
0
excos(2x) dx;
Z b
a
cos(x) dx;
Z b
a
sin(x) dx; ;  2 R :
Hinweis: Um die letzten zwei Integrale zu bestimmen, zerlegen Sie beide Seiten von (1) in
Real-und Imaginärteil.
(4) Berechnen Sie
Z 
4
􀀀
4
cos3 x dx:
(5) Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
(a)
Z 2
0
(sin x 􀀀 j sin xj) dx (b)
Z log(1+
p
2)
􀀀log(1+
p
2)
(sinh x 􀀀 j sinh xj) dx
(6) Berechnen Sie
Z 
􀀀
2
j sin x 􀀀 cos 2xjdx:
Die zweite Klausur ndet am Samstag, den 11. Dezember, von 10:00 bis 12:00 Uhr im
HSB 3 statt. Sie sollten 10 Minuten vor Beginn der Klausur anwesend sein. Bitte nehmen Sie
den Studierendenausweis mit. Der Stoumfang umfasst die Übungsblätter vier bis acht
(ohne Riemann-Integration).




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
10. Übungsblatt - Mathematik 10. Jänner 2011
(1) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
f : (0;1) ! R: x 7!
p
x3
mittels der Grenzwert-Denition der Ableitung.
(2) Bestimmen Sie A;B;C so, dass die Funktion
f : R ! R: x 7!
(
log j2 􀀀 x2 + xj + Alog j1 􀀀 x2j für x < 􀀀1 ;
B cos(x) + C arctan

2
1+x2

für x  􀀀1 ;
dierenzierbar ist.
(3) Symmetrischer Dierentialquotient: Es sei I  R ein Intervall und f 2 C2(I). Für
x 2 I sei weiters
2
hf(x) :=
f(x + h) 􀀀 2f(x) + f(x 􀀀 h)
h2
der symmetrische oder zentrale Dierentialquotient zweiter Ordnung. Man zeige:
lim
h!0
2
hf(x) = f00(x)
Hinweis: Regel von de l'Hôpital
(4) Berechnen Sie alle Tangenten an den Graphen der Funktion
f : R ! R: x 7! 􀀀
p
x2 + 6 ;
welche durch den Punkt
􀀀9
2 ; 3
2


gehen. Geben Sie weiters eine Parameterdarstellung dieser
Tangenten an.
(5) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
(a) lim
x!1
log (1 + ex)
p
1 + x2
(b) lim
x!0
log(1 + x + x2) 􀀀 x
x2 (c) lim
x!
4
(tan x)tan(2x)
(6) Zwei Funktionen g und f heiÿen asymptotisch äquivalent für x ! 1, wenn
lim
x!1
g(x)
f(x)
= 1 :
Schreibweise: g ' f für x ! 1
Zeigen Sie, dass
e 􀀀

1 +
1
x
x
'
e
2x
für x ! 1:
Bemerkung: Die Konvergenz

1 +
1
x
x
! e für x ! 1
ist also langsam.




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
11. Übungsblatt - Mathematik 17. Jänner 2011
(1) Wir betrachten die Funktion
F : R ! R: x 7!
Z 3x2
1
sin (2x)
p
3t
dt :
(a) Berechnen Sie das Integral.
(b) Bestimmen Sie F0(x) für x 6= 0 durch Anwendung des Hauptsatzes der Dierentialund
Integralrechnung und kontrollieren Sie das Ergebnis durch Dierenzieren des Resultats
aus (1).
(c) Ist F in Null dierenzierbar?
(2) Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
(a)
Z 1
0
x3
p
1 􀀀 x2
dx (b)
Z 2
1
p
4x 􀀀 2 􀀀 x2 dx
(3) Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
(a)
Z
x3
p
1 + x2
dx (b)
Z p
9x2 + 12x + 5 dx
(4) Berechnen Sie folgende Integrale:
(a)
Z 2
1
dx
x2 􀀀 2x + 4
(b)
Z
e2x + 2
ex + 1
dx
(5) Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
(a)
Z
dx
sin x
(b)
Z
dx
cos x
(c)
Z
sin x + 2
cos x + 1
dx
(6) Die dierenzierbare Funktion y = f(x) erfülle die Gleichung
cosh y + ex sin x􀀀y = 2 und f() = 0 : (1)
Berechnen Sie f0() durch
(a) explizite Dierentiation (berechnen Sie y = f(x) und dierenzieren Sie)
(b) implizite Dierentiation (dierenzieren Sie die Gleichung (1) mit Hilfe der Kettenregel
nach x).
Geben Sie weiters die Tangente an den Graphen von f im Punkt x =  an.




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
12. Übungsblatt - Mathematik 24. Jänner 2011
(1) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
Z 1
2
dx
x2 􀀀 x
:
(2) Das Volumen V des Drehkörpers, welcher durch Rotation des Graphen der integrierbaren
Funktion f : [a; b] ! [0;1) um die x-Achse ensteht, ist
V = 
Z b
a
f2(x) dx :
Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, welcher durch Rotation des Graphen der
Funktion f(x) = ln x , 1  x  e , um die x-Achse entsteht.
(3) Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:
(a)
Z 1
0
x2e􀀀x dx (b)
Z 1
0
1
(x + 1) dx ;  > 1
(4) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
Z 1
􀀀1
dx p
jxj(x2 + 5x + 6)
:
(5) Entscheiden Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren:
(a)
Z 1
2
1
log(x)
dx (b)
Z 1
0
sin x
p
x3
dx
(6) Welche der folgenden Reihen konvergieren?
(a)
1X
k=1
k + 1
2k (b)
1X
k=1
log k
k2 (c)
1X
k=2
(􀀀1)k
log(k)




PS Einführung in die Mathematik 2 WS 10/11
13. und letztes Übungsblatt - Mathematik 31. Jänner 2011
(1) Berechnen Sie das Taylorpolynom fünften Grades der Funktion
f : (􀀀2; 2) ! R: x 7!
sin x
2 + x
um den Entwicklungspunkt x = 0 .
(2) Die Funktion y = y(x) sei implizit durch die Gleichung
y3 sin x +

2
= eyx
gegeben und erfülle y(=2) = 0 . Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von y
um den Entwicklungspunkt x = =2 .
(3) Untersuchen Sie welche der folgenden uneigentlichen Integrale existieren und bestimmen
Sie deren Wert.
(a)
Z 1
0
arcsin x
p
1 􀀀 x2
dx (b)
Z 1
0
dx
x log(x4)
(4) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion
f(x) = xex2 cos x
2
um den Entwicklungspunkt x = 􀀀1 .
(5) Zeigen Sie, dass sich die Funktion
f : R n f0g ! R: x 7!
1 􀀀 cos x
sinh x
zu einer dierenzierbaren Funktion ~ f : R ! R fortsetzen lässt. Berechnen Sie weiters ~ f0(0) .
(6) Bestimmen Sie den Grenzwert
lim
x!0
log(1 + x2)
x sin x 􀀀 1 +
p
1 􀀀 x2
durch
(a) Anwendung der Regel von de l'Hôpital,
(b) Taylorentwicklung bei x = 0 .
Die dritte Klausur ndet am Freitag, den 11.02.2011, von 13.00 bis 15.00 Uhr im HSB 3
statt. Bitte seien Sie bereits 5 Minuten vor Beginn anwesend und nehmen Sie Ihren
Studierendenausweis mit.








Name: Gruppe:
2. Klausur 11. Dezember 2010
PS Einführung in die Mathematik 2 Mathematik
Bei jeder der nachfolgenden sechs Aufgaben können zwei Punkte erreicht werden. Alle Lösungen
müssen lesbar geschrieben und ausreichend begründet sein, die Ergebnisse sind soweit wie
möglich zu vereinfachen. Hilfsmittel wie Skripten, Bücher, Taschenrechner, Mobiltelefone und
dergleichen sind nicht erlaubt.
(1) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(a)
1X
k=0
(􀀀1)k 3
4k + 7
(b)
1X
k=0
3
4k + 7
(2) Berechnen Sie
1X
j=2
1X
k=2
1
(j + 1)jk :
(3) Berechnen Sie den Grenzwert
lim
x!0
tan(x) 􀀀 sin(x)
x3 :
(4) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (an)n1, wobei
an = n
r
4n + 3
2n + 2
:
Hinweis: Finden Sie für

4n+3
2n+2

n1
eine geeignete obere und untere Schranke.
(5) Bestimmen Sie den gröÿtmöglichen Denitionsbereich D der Funktion
f : D ! R: x 7! log (1 + tan x) :
(6) Seien (an)n2N und (bn)n2N zwei konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass
lim
n!1
(an + bn) = lim
n!1
an + lim
n!1
bn:



Name: Gruppe:
3. Klausur 11. Februar 2011
PS Einführung in die Mathematik 2 Mathematik
Bei jeder der nachfolgenden sechs Aufgaben können zwei Punkte erreicht werden. Alle Lösungen
müssen lesbar geschrieben und ausreichend begründet sein, die Ergebnisse sind soweit wie
möglich zu vereinfachen. Hilfsmittel wie Skripten, Bücher, Taschenrechner, Mobiltelefone und
dergleichen sind nicht erlaubt.
(1) Berechnen Sie das bestimmte Integral
Z 1
􀀀1
p
2x + 3 􀀀 x2 dx :
(2) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
Z 1
1
dx
p
x (x2 + 4x + 3)
:
(3) Die Funktion y = y(x) sei implizit durch die Gleichung
y2 cos x + sinh(1 􀀀 y) = 1
gegeben und erfülle y(0) = 1 . Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von y um
den Entwicklungspunkt x = 0 .
(4) Es sei g : R ! R eine dierenzierbare und f : R ! R eine stetige Funktion. Berechnen Sie
die Ableitung der Funktion
F : R ! R: x 7!
Z sin(x3)
g(x)
f(et) cos (2t)dt :
(5) Berechnen Sie
Z =2
0

cos x 􀀀
sin 2x
p
3

dx:
(6) Bestimmen Sie den Grenzwert
lim
x!0
log(1 + x2)
p
1 􀀀 x2 􀀀 cos (2x)
durch
(a) Anwendung der Regel von de l'Hôpital,
(b) Taylorentwicklung bei x = 0 .
Hinweis: log(1 + z) = z + O(z2) , cos z = 1 􀀀 z2
2 + O(z4) ,
p
1 + z = 1 + z
2 + O(z2)

[Hausmann]

alles klar

[isi1]

[fisch15]

da bin ich exakt deiner meinung, aber das führt immer noch nicht zu der beantwortung meiner frage, ob denn das studium in deutschland ähnlich verschult aufgebaut ist, oder ob da die lernatmosphäre etwas angenehmer gestaltet ist?
ich hoffe mir kann geholfen werden

[isi1]