Physik Forum

[Jsephs]

Liebe Schwingungs- bzw. Stollenreifen-experten,

im Rahmen eines Studienprojektes wurde ich mit folgender Aufgabe konfrontiert, die ich bis Mittwoch abgeben muss.

Zusatzaufgabe Gruppe 1
Der dynamische Reifenhalbmesser beträgt 1m.
Jedes Rad hat am Umfang 17 Stollen. Berechnen Sie für den Fall, dass die Stollen aller Räder gleichzeitig mit dem Boden in Eingriff kommen die Geschwindigkeit, bei der 60% der Anregungsamplitude durch die Stollen durch die Reifen isoliert wird.

Es geht hier um die Schwingungstechnische Auslegung einer Radladerkabine.

Es wäre fantastisch, könnte mir jemand einen Berechnungsansatz bzw. einen Lösungsweg aufzeigen.

Vielen Dank!

[Fritz]

Da fehlen aber noch einige Angaben würde ich sagen, sonst wird das nix.

mfg Fritz

[Jsephs]

Das wäre ja meine Rettung, welche Angaben fehlen bspweise?

Lg und vielen Dank für die 1. Antwort auf dieses nachtschlafraubende Problem.

[Fritz]

Ich würde sagen die einfachste Modellierung ist ein Feder-Masse-System mit Dämpfung.

Der Radlader hat eine Masse und wird über die Räder, die man als Federn modellieren kann mit dem Boden verbunden. Außerdem wirken die Räder wie Dämpfer.

Du brauchst also mindestens die Masse des Radladers und ein Federmodell der Räder. Je nach dem in welchem Betriebspunkt das ganze nachher liegt brauchst du auch noch Information über die Dämpfung der Räder.

Das ganze ergibt ein dynamisches System, dessen Eingangsgröße wahrscheinlich die Kraft auf die Räder ist und die Ausgangsgröße die Auslenkung der Masse (des Radladers).

Das ganze ist ein (lineares) System 2. Ordnung und sieht möglicherweise etwa so aus wie ein PT2-Glied: http://de.wikipedia.org/wiki/PT2-Glied

Das Bodediagramm stellt den Verlauf der Übertragungsfunktion (wie viel kommt raus) über der Anregungsfrequenz dar.

Die Forderung ist ja, dass 60% der Anregung in de Reifen 'hängen' bleibt, somit würde ich sagen, dass das bedeutet, dass der Amplitudengang auf 0.3 des Gleichanteils abgefallen ist.

Du musst also wohl folgendes machen: Du stellst das dynamische System auf und berechnest die dazugehörige Übertragungsfunktion. Damit zeichnest du das Bodediagramm und kannst dann die Frequenz ablesen, bei der 0.3 unterschritten wird.


So, das wäre jetzt mein erster Ansatz für dieses Problem, ob das die Vorgehensweise ist, die von dir erwartet wird kann ich dir aber nicht sagen.


mfg Fritz

[Jsephs]

Hi Fritz,

herzlichen Dank nochmal für Deine Bemühungen. Dafür, dass wir das Thema nie behandelt haben, bzw. Schwingungstechnik nie auf dem Programm stand, isses mir einfach zu kompliziert. Ich weiß nichtmal welche herangehensweise denn von mir gefordert ist.

Lg Willi

[Fritz]

Hallo

Also, fangen wir ganz langsam an:

Wir haben eine Masse, eine Feder, einen Dämpfer und eine Kraft, die von außen wirkt.

Die Masse, das ist der Radlader selbst, gehört, wie du sicher weißt dem Newtonschen Gesetz:

F=m*a

Die Kraft, die auf die Masse wirkt ist proportional zur Beschleunigung. Die Beschleunigung ist dabei einfach die 2. Ableitung des Weges, also der vertikalen Position der Masse.

Die Feder, nehmen wir an sie ist linear, verhält sich nach diese Gesetz:

F=-k*x

Die Kraft ist proportional der Auslenkung, also der Länge der Feder. Der Proportionalitätsfaktor ist die Federkonstante. Das Minus kommt daher, dass die Feder in diesem Problem der Beschleunigung der Masse entgegenwirkt.

Ein Dämpfer wirkt nun auf Geschwindigkeiten, je schneller etwas sich bewegt um so größer ist die Kraft:

F=-d*v


Nun müssen wir all diese Gesetze nur noch zusammenstöpseln. Die Summe aller Kräfte muss dem Newtonschen Gesetz gehorchen:

-k*x-d*v+F_e=m*a

F_e ist dabei die äußere Kraft von den Rädern.

Nun rufen wir uns in Erinnerung, dass die Größen a und v (die Beschleunigung und die Geschwindigkeit) ja nur die zeitlichen Ableitungen des Weges x sind:

-k*x -d*dx/dt +Fe = m*d2x/dt^2

Nun stellen wir die Gleichung noch etwas um, damit sie so dasteht wie sich das für ein Feder-Masse-System gehört!

m*d2x/dt^2 + d*dx/dt + k*x = F_e

Fertig ist die einfache Differentialgleichung die unser System beschreibt!

Siehe auch hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator

Kannst du mir so weit folgen?

mfg Fritz

[Jsephs]

Hi Fritz,

ich glaube ich kann folgen.

die Massen sind:
Chassis: 2600kg
Vorderachse: 2865kg
Hinterachse: 2865kg
Getriebe: 2530kg
Motor: 1450kg
Tank: 1600kg
Kühler: 410kg
Zusatzmasse 1: 3000kg
Zusatzmasse 3: -5,3 Kg
Kabine: 785kg
Schaufel mit Arm: 1800kg
Sitz: 50kg:

Summe: 19949,7 Kg
Zusatzmasse 2 gibt es nicht.

Es sind noch Reifensteifigkeiten gegeben:

vorne links vorne rechts hinten links hinten rechts
CX 0,001 0,001 0,001 0,001
CY 189000 189000 189000 189000
CZ 600000 600000 600000 600000

Ich dachte erst die Zusatzaufgabe käme ohne diese Angaben aus der Hauptaufgabe aus, aber offenbar doch nicht.

die Reifensteifigkeit vereinfacht die Berechnung evtl. ?

mfg

[Fritz]

Sehr, schön jetzt haben wir auch Werte.

Bei den Reifensteifigkeiten fehlen noch die Einheiten.

Gibt es zu den Dämfungseigenschaften der Reifen auch zufällig Werte? Wenn nicht ist auch egal.


So, wie geht es weiter?

Diese DGL wollen wir nun in den Frequenzbereich transformieren um eine Übertragungsfunktion zu bekommen.

Dazu benutzen wir die Laplace-Transformation, die eine Erweiterung der Fouriertransformation ist.

Die unabhängige Variable ist nun nicht mehr die Zeit t sondern s, so eine Art komplexe Frequenz.

Die Regeln zum Transformieren besagen, dass jede Ableitung durch eine Multiplikation mit s übersetzt wird. Außerdem ist die Transformation linear d.h. die Transformation einer Summe ist die Summe der Transformierten Summanden, konstante Faktoren, dürfen nach vorne gezogen werden.

Die Transformierte von x bezeichnen wir als A, die Transformierte der Kraft F_e als E.

E ist also die sowas wie das Frequenzspektrum der anregenden Kraft, und A ist das Spektrum der Auslenkung.

Die transformierte DGL lautet dann:

m*A*s^2 + d*A*s + k*A = E

Das ist nun eigentlich keine wirkliche DGL mehr sondern nur eine ganz gewöhnliche rationale Gleichung!

Als nächstes müssen wir uns darüber Gedanken machen welche Größen bei unserem System Ausgang und Eingang darstellen. Ich würde sagen: Die Kraft auf die Räder ist jedenfalls der Eingang. Ob der Ausgang nun die Auslenkung, die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung der Masse ist, darüber lässt sich streiten, ich würde vorschlagen wir nehmen die Auslenkung.

Es ergibt sich also:

Eingang: E (F_e)
Ausgang: A (x)

(Deshalb habe ich die Buchstaben auch so gewählt. )

Formen wir also unsere obere Gleichung um:

A/E=1/(m*s^2 + d*s + k)

A/E stellt also das Verhältnis von Ausgang zu Eingang dar und hängt nur noch von s ab, man nennt diese Funktion deshalb auch Übertragungsfunktion G(s).

Wie du siehts, sieht diese Funktion genau so aus wie die eines PT2-Gliedes:
http://de.wikipedia.org/wiki/PT2-Glied

Nur, dass die Konstanten ein wenig anders gewählt wurden.


Diese Funktion ist linear. D.h. schickt man ein Sinus-Signal hinein, kommt hinten wieder ein Sinus gleicher Frequenz raus. Aber: die Funktion ist komplexwertig! D.h. man kann sie nicht einfach wie eine normale Funktion zeichnen, da zu jedem s ein Realteil und ein Imaginärteil herauskommt.

Genaugenommen ist auch s komplex, wir betrachten hier aber nur eingeschwungene Zustände, deshalb ist unser s rein imaginär und durch j*ω gegeben, wobei ω die Kreisfrequenz ist.

Was bedeutet es wenn das Ergebnis der Übertragungsfunktion komplex ist? Es bedeutet, dass das Ausgangssignal gegenüber dem Eingang eine Phasenverschiebung erhällt! Wie groß die Phasenverschiebung ist wird durch den Winkel, der von Real- und Imaginärteil aufgespannt wird angegeben, man rechnet einfach:

φ=arctan(Im(G(s) / Re(G(s))

Die Phase interessiert uns hier aber nur 2. rangig. In erster Linie interessiert uns um wie viel das Eingangssignal vergrößert oder verkleinert wird. Das sagt und der Betrag von G(s), wir rechnen also einfach:

abs(G(s))=sqrt( Re(G(s))^2 + Im(G(s))^2 )

Diese beiden Größen können wir nun zeichnen in dem wir in der Funktion G(j*ω) ω variieren und Betrag und Phase aufzeichnen.

Die Frequnz wird dabei logartihmisch skaliert, außerdem wird der Betrag in dB angegeben (also auch logarithmisch) damit große Frequenz und Betragsbereiche überschaubar darstellbar sind.

Diese Grafik nennt man nun: Bode-Diagramm.


So: jetzt bist du dran: Setze die Parameter in die Übertragungsfunktion ein und zeichne das Bodediagramm.

Die Dämpfung kannst du, wenn keine anderen Daten vorhanden sind, zu 0 setzten.

Natürlich nicht von Hand!, sondern mit einem Programm zb. Matlab, dieses verfügt bereits über einen eigenen 'bode' Befehl.

mfg Fritz

[Jsephs]

Vielen, vielen, vielen Dank nochmals!

Ich werde morgen Vormittag dann versuchen das alles in eine ordentliche Form zu bringen. Und das Matlab zu beschaffen. Morgen bis 24 habe ich noch Zeit für die Bearbeitung der Aufgabe. Danke für die Mühe.

Wünsche dir einen schönen Abend noch.

mfg

[Fritz]

Wenn du Matlab noch nicht hast und noch nicht kennst, empfehle ich dir stattdessen Scilab zu verwenden. Das verfügt über einen ähnlichen Funktionsumfang, ist aber open-source. Damit ist es auch frei benutzbar (ganz legal). http://www.scilab.org/

Ob man sich jetzt in das eine oder in das andere Programm einlernt ist dann auch egal.

Ich finde ja, man sollte immer so arbeiten, dass man nicht notwendigerweise auf komerzielle Programme angewiesen ist.

mfg Fritz