Physik Forum

[Mikl]

Hallo,

[Fritz]

Hallo

Schon wieder ein Rohrströmungsproblem.

Im Prinzip geht es darum den Druckverlust durch die Strömung im Rohr zu berechnen. Dafür gibt es zum Glück genug Formeln.

Die Reibung hängt vom Rohrdurchmesser, der Länge, sowie natürlich von der Strömungsgeschwindigkeit ab. Außerdem haben die Übergangsstellen (Krümmer, Austritt und Eintritt) einen Einfluss.

Leider ist aber der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Druckverlust nicht linear. Das macht die ganze Sache etwas komplizierter. Man kann aber durch ein paar Iterationen eine ganz gute Näherung berechnen.

Die Steigrohre machen im Prinzip keinen Unterschied, aber natürlich haben sie auch einen gewissen Einfluss auf die Reibung.


Ein viel einfacherer aber wahrscheinlich ungenauer Ansatz ist es einfach die Torricelli-Formel zu verwenden um die Ausströmgeschwindigkeit zu berechnen. Dabei wird aber jegliche Reibung außer die beim Ausströmen vernachlässigt.

v=sqrt(2*g*h)

v... Ausströmgeschwindigkeit (m/s)
g... Erbeschleunigung (m/s^2)
h... Höhendifferenz zwischen den Wasserständen (m)

Der Volumenstrom ist dann

Q=v*d^2*pi/4

Q... Volumenstrom (m^3/s)
d... Rohrdurchmesser (m)

Um nun eine Lösung für den Wasserstand in Abhängigkeit der Zeit zu bekommen müssen wir eine kleine Differentialgleichung lösen. Die DGL beruht darauf, dass die Behälter über ihre gesamte Höhe die gleiche Querschnittsfläche haben. Das Volumen ist dann einfach:

V=A*h
V... Volumen
A... Querschnittsfläche des Behälters.

Wenn wir das nun einmal differenzieren erhalten wir:

Q=A*dh/dt
dh/dt... zeitliche Änderung der Differenzhöhe

zusätzlich muss noch ein - eingefügt werden, da in unserer Konvention ein positiver Volumenstrom dazu führt, dass der Wasserstand fällt.

Nun setzen wir einfach ein:

sqrt(2*g*h)*d^2*pi/4=-A*dh/dt

Das ist eine separable DGL und lässt sich leicht lösen:

1/sqrt(h)*dh = -sqrt(2*g)*d^2*pi/(4*A)*dt

Nun noch links und rechts einmal integrieren:

2*sqrt(h) = -sqrt(2*g)*d^2*pi/(4*A)*t + c1

c1... Integrationskonstante

Damit erhalten wir:

h=1/4*(-sqrt(2*g)*d^2*pi/(4*A)*t + c1)^2

Nun müssen wir noch die Konstante c1 finden, dazu müssen wir eine Anfangsbedingung setzen:

h(0)=H

damit erhalten wir:

H=1/4*c1^2
c1=sqrt(4*H)

damit lautet das Ergebnis h(t):

h=1/4*(-sqrt(2*g)*d^2*pi/(4*A)*t + sqrt(4*H))^2

Nun wollen noch berechnen wie lange es dauert bis die Höhendifferenz 0 ist also:

h=0

sqrt(2*g)*d^2*pi/(4*A)*t=sqrt(4*H)

t=sqrt(4*H)/(sqrt(2*g)*d^2*pi/(4*A))


Also angenommen der Behälter sei 1m hoch und habe einen Querschnitt von 0.3m^2. Dann ist die Höhendifferenz am Anfang ja 1m.

Dann dauert es 2130s oder etwa 35min bis beide Behälter den gleichen Wasserstand haben.

So. Nun hoffe ich das ich keine größeren Fehler bei meiner Herleitung begangen habe, ist ja alles 'live' gerechnet. Man möge mich bitte korrigieren.

Ich finde aber der Wert klingt realistisch. Aufgrund des Wurzel Zusammenhangs fließt des gegen Ende hin ja immer langsamer.

In der Realität wird es aber aufgrund der Reibung etwas länger dauern.

mfg Fritz