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Integral durch Reihenentwicklung

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Zeitdilatation Ergebniskonflikt :: Partikel Messung

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isi1
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Anmeldedatum: 13.03.2007
Beiträge: 2165
Wohnort: München

Verfasst am: Mo Jul 18, 2011 11:41 am Titel: Integral durch Reihenentwicklung

De_Schebbi hat Folgendes geschrieben:

Hallo liebe Community,
ich komme bei einer bestimmten Taylorreihe aus unserer Klausursammlung nicht weiter und bitte euch hiermit mal um Hilfe!

Der Aufgabentext ist vom Sinn her immer der gleiche:

"Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zurvierten Dezimale genau:

I =Integral von 0-0,9 von x*tanh(−x²)dx.

Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit dem tatsächlichen Fehler."

So, soweit habe ich erstmal den Term vereinfacht:

tanh(-x²) = -tanh(x²) => Das Minus-Zeichen vors Integral

Nun betrachte ich mir die einzelne Reihe von tanh(x²):

tanh(x²) = tanh(z) = sinh(z)/cosh(z)

sinh(z) als Reihe: z + 1/3! z³ + 1/5! z^5 + ...
cosh(z) als Reihe: 1 + 1/2! z² + 1/4! z^4 + ...
So an dieser Stelle müsste ich ja aufgrund des geforderten Fehlers schon mal abschätzen wie viele Ordnungen/ Elemente ich mitnehme, oder?!?

So mit diesen beiden Reihen:

Sinh(z)*cosh(z)^-1 =
(z + 1/3! z³ + 1/5! z^5 + ...)*(1 + 1/2! z² + 1/4! z^4 + ...)^-1

Jetzt baue ich cosh(z) zu einer Binomialreihe um:

(1 + 1/2! z² + 1/4! z^4 + ...)^-1 => (1 + t)^-1
(1 + t)^-1 = (1 - t + t² - t³ + ..)
Auch hier müsste ich doch wieder entscheiden, wie viele Ordnungen ich mitnehme, oder?!?

So dann wird brav ausmultipliziert und zurück transformiert:
t => z => x²

Danach mit dem übrigen x ausmultiplizieren und als Integral schreiben,
das ist ja eher das Triviale an dieser Aufgabe Wink

Also meine Fragen:

1) Ist der Lösungsansatz so erstmal formal richtig?
2) Gibt es vielleicht einfachere Lsg.-Wege?
3) Wie schätze ich die Anzahl der benötigten Ordnungen ab?

Es tut mir leid, das ich diese Aufgabe nicht mit irgend einem Mathe-Programm geschrieben habe und hier eingefügt habe. Ich weis, dies wäre um einiges übersichtlicher gewesen. Ich hoffe ihr könnt mir trotzdem auf die Sprünge helfen!

Vielen Dank!
De_Schebbi

\( \tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} +\frac{62x^9}{2835} \pm \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \)

Er erlaubt ja fertige Formeln

\( x\cdot \tanh{x^2} = -x^3 +\frac {x^7} {3} -\frac {2x^{11}} {15} +\frac {17x^{15}} {315} -\frac{62x^{19}}{2835} \pm \cdots \)

\( \int{x\cdot \tanh{x^2}}dx = \int{-x^3 +\frac {x^7} {3} -\frac {2x^{11}} {15} +\frac {17x^{15}} {315} \pm \cdots }dx \)
\(\int_0^{0,9}{x\cdot \tanh{x^2}}dx = -\frac{x^4}{4} +\frac {x^8} {24} -\frac {x^{12}} {90} +\frac {17x^{16}} {5040} \pm \cdots \) mit x=0,9

\(\int_0^{0,9}{x\cdot \tanh{x^2}}dx = -0,164025 +0,017936 -0,003138 +0,000625 \pm \cdots \) ...die nächste ist etwa -0,0001

Ergebnis -0,1487 Stimmt das?

Einfacher geht es vermutlich, wenn man den tanh() als e-Funktion ausdrückt (x*tanh(−x²)=2x/(e^(2x²)+1) -x, dann ist das Integral -½*(ln(e^(2x²)+1)-x²)
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ

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