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 Betreff des Beitrags: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Mi Apr 30, 2014 9:55 pm 
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Bei der folgenden Aufgabe haben wir in der Arbeitsgruppe Probleme:
auf der x-Achse bei +e und -e sind die Brennpunkte der gesuchten Ellipse.
Um M = (x0|y0) ist ein Kreis mit Radius r, der die Ellipse gerade berührt. (Beispiel e=4, M = (7|7), r= 4)
Frage: Wie groß sind die Ellipsenachsen? Gefragt ist die Berechnung und die Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Unsere bisherigen Erkenntnisse:
Wir verbinden den Berührungspunkt P mit den Brennpunkten bei (-4|0) = g1 und mit (4|0) = g2
Die Winkelhalbierende von g1 und g2 geht durch M.
d.h. der Radius auf P hat den Winkel φ+180°, g1 hat α und g2 hat β,
dann ist α+β = 2φ
Und die Länge von g1 + g2 ist gleich der Länge der großen Achse der Ellipse.

Hier kommen wir nicht mehr weiter. Bitte um Hilfe.

Bild


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Mi Jul 16, 2014 11:39 am 
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huaghuag hat geschrieben:
Die Winkelhalbierende von g1 und g2 geht durch M.

Wieso das? Und: Wo geht die Bedingung des Berührens ein?


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Mi Jul 16, 2014 6:33 pm 
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Hausmann hat geschrieben:
huaghuag hat geschrieben:
Die Winkelhalbierende von g1 und g2 geht durch M.
Wieso das?
Erst mal vielen Dank, Hausmann, dass Du Dich für unser Problem interessierst. Wir haben noch immer keine Lösung.
>> Wieso das?
Das ist die Spiegelung auf der Ellipse, die ja am (noch unbekannten) Berührungspunkt P die gleiche Tangente hat wie der Kreis.
Ein Lichtstrahl, der vom einen Brennpunkt ausgeht und im Punkt P reflektiert wird, trifft den anderen Brennpunkt (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) und die Winkelhalbierende steht senkrecht auf der Tangente und trifft somit den Kreismittelpunkt.
Hausmann hat geschrieben:
Wo geht die Bedingung des Berührens ein?
Ja genau das ist unser Problem, wir bräuchten noch eine Bedingung, die den Punkt P festlegt.


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Mi Jul 16, 2014 9:37 pm 
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"Berührung" zweier Kurven bedeutet, daß sie in diesem Punkt die gleiche Tangente (Ableitung) haben.


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Mo Aug 25, 2014 10:12 am 
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Hallöchen,
also wenn die Winkelhalbierende von g1 und g2 auch die Senkrechte im Berührungspunkt ist, dann lässt sich das Thema schnell auflösen.
Die Winkelhalbierende von g1 und g2 ist auch die Winkelhalbierende von e1->M und e2->M.
Die Winkelhalbierende von e1->M und e2->M lässt sich leicht konstruieren. Diese schneidet den Kreis in dem Berührungspunkt.
Somit erhält man auch die Strecken g1 und g2. Die Addition dieser ergibt von e1 auf der x-Achse in Richtung +Unendlich abgetragen den Schnittpunkt der Ellipse mit der x-Achse.
Zur Konstruktion des Schnittpunktes der Ellipse mit der y-Achse trägt man die Strecken g1 und g2 als Addition auf einer Geraden ab, ermittelt den Mittelpunkt der Gesamtstrecke. Dann nimmt man diese halbe Strecke mit dem Zirkel und schlägt einen Kreis um einen der Punkte e1 oder e2. Die Schnittpunkte mit der y-Achse sind die Schnittpunkte der Ellipse mit der y-Achse.
Grüße
Rainmanef


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Mo Aug 25, 2014 12:26 pm 
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Rainmanef hat geschrieben:
Die Winkelhalbierende von g1 und g2 ist auch die Winkelhalbierende von e1->M und e2->M.
Vielen Dank für Deine Antwort, Rainmanef.
Ja, das wäre schön, aber leider stimmt die Aussage nicht in jedem Fall.
Bild
Im Bild kannst sehen, dass von M aus E₁ und E₁' gleiche Winkel zu MP (grün) hat, das impliziert, dass obige Aussage falsch sein muss, dann ME₂ ist klar innerhalb von E₁ME₁'

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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Mo Aug 25, 2014 1:53 pm 
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Hallo Isi,
danke für den Hinweis.
Du hast Recht, das war natürlich Quatsch.
Ich denke nochmal nach.


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Di Aug 26, 2014 9:49 am 
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Hi Isi,
habe mir deine Antwort unter dem Bild nochmal durchgelesen.
Du schreibst, dass die Strecken ME1 und ME1' den gleichen Winkel zur Strecke MP haben.
Und du zeigst im Bild, dass die Strecken PE1 und PE1' ebenfalls den gleichen Winkel zur Strecke MP nämlcih Phi1 haben.
Also was zeigt mir dann die Gerade durch ME2?
Bin gerade verwirrt.

Übrigens bin ich immernoch folgender Meinung, kann es aber irgendwie nicht beweisen.
Wenn die grüne Gerade die Winkelhalbierende des Winkels E1-P-E1' ist, dann ist die grüne Gerade ebenfalls die Winkelhalbierende jedes beliebigen Winkels
E1-P'-E1' (mit P' als beliebiger Punkt auf der grünen Geraden).

in dem Beispiel mit der Ellipse bin ich aber davon ausgegangen, dass die Senkrechte in einem Punkt P der Ellipse identisch ist mit der Winkelhalbierenden des WInkels E1-P-E2 (E1 und E2 sind die Brennpunkte der Ellipse).

Grüße


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Di Aug 26, 2014 9:57 am 
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Rainmanef hat geschrieben:
Übrigens bin ich immernoch folgender Meinung, kann es aber irgendwie nicht beweisen.
Wenn die grüne Gerade die Winkelhalbierende des Winkels E1-P-E1' ist, dann ist die grüne Gerade ebenfalls die Winkelhalbierende jedes beliebigen Winkels
E1-P'-E1' (mit P' als beliebiger Punkt auf der grünen Geraden).
Da stimmen wir voll überein, Rainmanef.
Gerade da P der gesuchte Punkt ist, wäre Dein Ansatz besonders brauchbar gewesen, wenn E2-M-P = P-M-E1 (Winkelhalbierende) wäre. Aber leider ...

Ich weiß nicht, ob huaghuag schon eine Lösung hat.

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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Di Aug 26, 2014 11:41 am 
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Was soll bei dir der Punkt E2 sein?
Ich rede nur davon, dass wenn die grüne Gerade die Winkelhalbierende des Winkels E1-P-E1' ist, dann ist sie auch die Winkelhalbierende des Winkels E1-M-E1'.

Was stellt in deiner Skizze die STrecke ME2 dar?


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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Di Aug 26, 2014 2:58 pm 
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Rainmanef hat geschrieben:
Was soll bei dir der Punkt E2 sein?
Das soll der gegebene 2. Brennpunkt der Ellipse sein, E1 ist der andere Brennpunkt. Weiterhin sind gegeben: der Kreismittelpunkt und der Kreisradius.
Gesucht ist entweder der Berührungspunkt P oder die große oder die kleine Halbachse der Ellipse.

Hört sich so simpel an, aber macht Probleme.

Der Kenntnisstand ist bisher: Läßt sich berechnen mit einer Gleichung (mindestens) 4. Grades und ist höchstwahrscheinlich deshalb nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Aber wir hoffen auf eine Lösung 2. Grades, insbesondere da es (meistens) 2 Lösungen gibt und niemals 4. Und Lösungen 2. Grades sind definitiv konstruierbar.

Bild

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 Betreff des Beitrags: Re: Ellipse berührt einen Kreis
BeitragVerfasst: Sa Sep 06, 2014 9:18 am 
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Die Umfrage bei verschiedenen Foren hat nicht viel erbracht.
Ich habe das Problem in ein äquivalentes umgewandelt - vielleicht finden wir damit was.

Bild

Ich habe es mit diesen Beispieldaten zu berechnen versucht:
Punkt P = (0 | 0), B = (-6 | 0)
Punkt A = c * exp(j µ) -r = ( 7*cos(µ) -6 | 7*sin(µ) )
Punkt C = a * exp(j (µ-ß)) -r = ( 10*cos(µ-45°) -6 | 10*sin(µ-45°) )

Die Bedingung Winkelhalbierende ist erfüllt, wenn die beiden tan(y / x)
gleich groß sind und entgegengesetztes Vorzeichen haben (jedenfalls wenn 0 < µ < 45°).
Also
(1) yA / xA = - yB / xB
yA * xB + yB * xA = 0
(2) c*sin(µ) * (a*cos(µ-ß) -r) + a*sin(µ-ß) * (c*cos(µ) -r) = 0
TR-Lösungen bei obigen Werten: µ = 13,62° und µ = 180° + 24,185° .... könnte stimmen

Bild

Meine Hoffnung ist, dass eine quadratische Gleichung genügt, da es ja 2 Lösungen gibt, und dass ich die dann auch mit ZuL konstruieren kann.

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