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Kreisstromverfahren, Knotenpotentialverfahren


 
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Äquipotentiallienien :: LED vorwiderstand  
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isi_
Gast





BeitragVerfasst am: Mo März 13, 2006 6:06 pm    Titel: Kreisstromverfahren, Knotenpotentialverfahren Antworten mit Zitat

Hier nochmal die Regeln für das 'Kreisstromverfahren' = Maschenstromverfahren.
Vorteile:
o Bei sich nicht überschneidenden Maschen und gleichem Kreisstromdrehsinn sind die Regeln simpel.
o wenig Unbekannte, ordentliche Darstellung,
o leichte Nachprüfbarkeit jeden Schrittes(Doublecheck!)

Beispiel Kreisstromverfahren:


Die Regeln zum Kreisstromverfahren sind:

a) die ik1...ik3 Schleifen einzeichnen oder sich denken
b) für jede dieser ik-Maschen eine Gleichung aufstellen
b1) die Widerstände mit dem eigenen ik sind positiv
b2) die Widerstände mit den Nachbar-ik sind negativ
b3) Spannungsquellen mit gleichlaufendem Pfeil sind negativ und werden rechts eingetragen
b4) Spannungsquellen mit entgegengesetztem Pfeil sind positiv und werden rechts eingetragen
c) Die Auflösung der Gleichung nach Gauß-Jordan ergibt die ik1...ik3
c1) wenn man die Zahlen einsetzt, löst Brünner oder EXCEL
c2) alternativ - auch mit Buchstaben löst TI89 mit rref()
c3) natürlich kann man auch von Hand auflösen (siehe unten)
Beachte: Die ganze Schreibarbeit ist das folgende Codefenster(!)
Code:
R1+R5 -R1       0    U
-R1   R1+R2+R4 -R2   0
0     -R2      R2+R3 0
Gauß-Jordan ergibt ik1 = 1A, ik2 = ½A, ik3 = 1/3 A
i0 = ik1, i1 = ik1-ik2, i2 = ik2-ik3, i3 = ik3, i4 = ik2, i5 = ik1
Ua = i3*R3 = 10V
----------------------------------------------------------------
Ergänzend dazu das Knotenpotentialverfahren, es ist dual zum Kreisstromverfahren, d.h.
Strom <---> Spannung
Widerstand <---> Leitwert
Masche <----> Knoten
Spannungquelle <----> Stromquelle
Ohmsches Gesetz: U = R * I ---> I = G * U

Die Regeln für das Knotenpotentialverfahren sind:
a) die φ1...φ3.. Knotenpotentiale einzeichnen oder sich denken
b) für jede dieser f-Knoten eine Gleichung aufstellen
b1) die Leitwerte mit dem eigenen φ sind positiv
b2) die Leitwerte mit den Nachbar-φ sind negativ
b3) Stromquellen mit Zufluss sind positiv und werden rechts eingetragen
b4) Abfluss natürlich negativ
c) Die Auflösung der Gleichung nach Gauß-Jordan ergibt die φ1...φ3..
c1) wenn man die Zahlen einsetzt, löst Brünner oder EXCEL
c2) alternativ - auch mit Buchstaben löst z.B. TI89 mit rref()
c3) Man kann natürlich auch 'von Hand' lösen (siehe unten)


EXCEL- bzw. OpenOffice.org Calc- Berechnung

Nach Eingabe der 3*4 Matrix markiert man die Zellen E1:E3 und gibt in die Eingabezeie ein:
=MMULT(MINV(A1:C3);D1:D3)
Dann (wichtig) mit Strg-Shift-Enter eingeben.
Es entstehen geschweifte Klammern um den Ausdruck, das bedeutet, es werden die Ergebniswerte in den markierten Bereich geschrieben.
Die EXCEL-Datei findest Du hier

Ausführliche Erklärung zur Auflösung der Matrix 'per Hand' nach Gauß-Jordan
Der Trick besteht darin, aus den linken 3*3 Elementen die Einheitsmatrix zu erzeugen durch Zeilenoperationen, z.B. Addition/Subtraktion von (vervielfachten) anderen Zeilen und Vertauschen von Zeilen.
Code:
 Gleichungssystem:
     50    - 40      0     30   
   - 40     120   - 60      0   
      0    - 60     90      0   
 Addition der zweiten Zeile zur ersten
 dann die 1. Zeile durch 10, die 2. durch 20 und die 3. durch 30 teilen
     1       8     - 6      3   
   - 2       6     - 3      0   
     0     - 2       3      0   
 Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht.
 Zur 2. Zeile wird das 2fache der 1. Zeile addiert und mit der 3. vertauscht
     1       8     - 6      3   
     0     - 2       3      0   
     0      22    - 15      6   
 Die 2. Zeile vierfach zur ersten und 11-fach zur dritten addieren
 dann die 3. Zeile durch 6
     1       0       6      3   
     0     - 2       3      0   
     0       0       3      1   
 Nun die 3. Zeile von der 2. abziehen und von der 1. Zeile 2-fach abziehen
     1       0       0      1   
     0     - 2       0    - 1   
     0       0       3      1   
 Zuletzt die 2. Zeile durch (-2) und die 3. durch 3 teilen
     1     0     0     1   

                       1   
     0     1     0    --- 
                       2   

                       1   
     0     0     1    ---
                       3   
 In der letzten Spalte stehen die Lösungen. 
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